Çözüldü Kombinasyon - Permütasyon

_M_M_M_ biçiminde mühendisler 3! ile yerleşir. Ayırdık.

Sonra mimarları özdeş kabul edelim ve kırmızı yerlere 2'sini koyalım ve geriye 2 (özdeş mimar) kalır ve 4 farklı yere a+b+c+d=4 denkleminin sıfırlı çözümü tekrarlı kombinasyona göre C(2+4-1,2)=C(5,2)=10 olur. Böylece bu mimarları bu üç mühendisin boşluklarına 0,1,2,3'lü yaymış olduk. Artık bu 4 mimarı farklı kabul ederek yerleri değiştirmek kalıyor: 4!
Sonuç olarak; 3!.10.4!=6.240=1440 yine bulunur.

Başka bir çözüm daha var!

Anlamayacak bir şey yok...

_R_R_R_R_ şeklinde mimarlar yerleşir: 4!

Aralarına, yâni 5 boşluğa artık tek tek mühendisler (M) gelecek:
M1 5 yere ---> M1R_R_R_R_
M2 kalan 4 yere ----> M1RM2R_R_R_
M3 kalan 3 yere, 5.4.3=P(5,3) demektir. Sonuç: 4!.P(5,3)=1440

Hatırlatma:
m farklı şeyin, n farklı yere en fazla 1 tane biçimindeki dağılımlarının sayısı P(n,m) kadardır.

2. çözüm:
Önceki çözümde mimarları özdeş kabul edip bu boşluklara kaç türlü yayılabileceklerini göstermiştik. Şimdi bu özdeşliğe hiç girmeden çözelim.

i) Yine _M_M_M_ şeklinde mühendisleri yerleştirelim: 3!

ii) Bunların arasını bozmak için 2 tane mimar seçip ve kırmızı boşluklara yerleştirelim: C(4, 2)·2! = 12 eder. Böylece mühendisleri ayırmış olduk.

iii) Sonra kalan 2 mimarı bu 4 boşluğa nasıl yerleştireyim diye düşünelim:
0002 --> 4! / 3! = 4
0011 --> 4! / (2!·2!) = 6 ---> 4+6=10 değişik format vardır ve 2 mimarın kendi aralarında yer değişimlerini de hesaba katarsak 10·2! eder.
Artık i, ii, iii'den sonuca gidersek: 3!·12·20 = 6·240 = 1440 buluruz.


Harikulâde bir çözüm!