Çözüldü İntegral (3 Soru)

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve mithatcann tarafından 28 Haziran 2013 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. mithatcann

    mithatcann Yeni Üye

    Mesajlar:
    1
    Beğenileri:
    0
    Merhabalar iyi günler.

    1 ) y=-x+6 doğrusu ile x.y=5 eğrisi arasında kalan bölgenin y ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayınız.
    2 ) http://sketchtoy.com/41543955

    toplam da 3 tane sorum var. Bunların yanıtını 2 parça olarak ya da tek tek http://sketchtoy.com sitesi yardımıyla çözebilir misiniz . Yarın sınavım var çok önemli benim için. Çok teşekkür ederim.
    mithatcann, 28 Haziran 2013
    #1

    2. Benzer Konular: İntegral Soru)
    Forum Başlık Tarih
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral İntegral (3 Soru) 30 Ekim 2023
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Belirli İntegralin Yaklaşık Riemann Toplamı Değeri (2 Soru) 25 Mayıs 2023
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral İntegral (3 Soru) 27 Haziran 2021
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Limit - Türev - İntegral (7 Soru) 20 Nisan 2021
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları İntegralde Trigonometrik Değişken Dönüşümleri - Hiperbolik Fonksiyonlar (2 Soru) 26 Ağustos 2020

  2. Cem

    Cem Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    3.387
    Beğenileri:
    1.336
    Ynt: İntegral

    1. soru Rondela ile:

    y=-x+6=(-5/y)+6 ⇒ y^2-6y+5=(y-1)(y-5)=0 ⇒ y1=1 ve y2=5 olduğundan,

    [​IMG]


    Silindirik kabuk ile:

    [​IMG]


    İntegraller de kolay ama vakit bulunca yazabilirim, ayrıntılı olarak; o da bu gece zor!
    Son düzenleyen: Moderatör: 1 Şubat 2017
    Cem, 28 Haziran 2013
    #2
  3. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    11.194
    Beğenileri:
    652
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Sayın Cem Hocam, 2. Sorudaki integrallerin çözümlerini şöyle yaptım:

    Birinci Integral:
    ∫ [ x^3 / (1 + x^3) ]dx = ?

    ∫ [1 - 1 / (1 + x^3) ]dx = ∫dx - ∫ { 1 / [ (x + 1)(x^2 - x + 1) ] }dx =

    x - ∫ { 1 / [ (x + 1)(x^2 - x + 1) ] }dx....(I)

    1 / [ (x + 1)(x^2 - x + 1) ] ≡ A / (x + 1) + (Bx + C) / (x^2 - x + 1)

    1 ≡ (A + B)x^2 + (-A + B + C)x + A + C

    A + B = 0....(II)

    -A + B + C = 0....(III)

    A + C = 1....(IV)

    (II), (III), (IV) denklemlerinden A = 1 / 3, B = -1 / 3, C = 2 / 3 bulunup (I) ifadesi;

    x - (1 / 3)∫[ 1 / (x + 1) ]dx - ∫[ (-x / 3 + 2 / 3) / (x^2 - x + 1) ]dx =

    x - (1 / 3)·ln(x + 1) + (1 / 3)∫[ (x - 2) / (x^2 - x + 1) ]dx =

    x - (1 / 3)·ln(x + 1) + (1 / 6)∫[ (2x - 1 - 3) / (x^2 - x + 1) ]dx =

    x - (1 / 3)·ln(x + 1) + (1 / 6)∫[ (2x - 1) / (x^2 - x + 1) ]dx - (1 / 2)∫ { 1 / [ (x - 1 / 2)^2 + 3 / 4 ] }dx =

    x - (1 / 3)·ln(x + 1) + (1 / 6)ln(x^2 - x + 1) - (1 / 2)∫{ 1 / [ (x - 1 / 2)^2 + 3 / 4 ] }dx....(V)

    x - 1 / 2 = (√3 / 2)·tanθ ⇒ dx = (√3 / 2)·[ (secθ)^2 ]dθ değişken dönüşümüyle (V) integralindeki son terim;

    ∫{ 1 / [ (x - 1 / 2)^2 + 3 / 4 ] }dx = ∫(√3 / 2)·[ (secθ)^2 ]dθ / { (3 / 4)·[ (secθ)^2 ] } =

    (2 / √3)·θ = (2 / √3)·arctan[ (2x - 1) / √3 ]....(VI)

    (VI) eşitliği, (V) ifadesinde yerine yazılırsa;

    x - (1 / 3)·ln(x + 1) + (1 / 6)ln(x^2 - x + 1) - (1 / 2)·(2 / √3)·arctan[ (2x - 1) / √3 ] + C =

    x - (1 / 3)·ln[ (x + 1) / √(x^2 - x + 1) ] - (1 / √3)·arctan[ (2x - 1) / √3 ] + C....(VII)

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate (x^3/(1+x^3))dx

    Not: Gerekirse (VII) numaralı ifade açılarak WolframAlpha'nın verdiği sonuçla aynı oluşu şöyle gösterilebilir:
    x - (1 / 3)·ln(x + 1) + (1 / 6)·ln(x^2 - x + 1) - [ (√3) / 3 ]·arctan[ (2x - 1) / √3 ] + C =

    x - (1 / 6){ 2·ln(x + 1) + ln(x^2 - x + 1) + 2(√3)·arctan[ (2x - 1) / √3 ] } + C =

    x - (1 / 6){ 2ln(x + 1) + ln((x - 1)x + 1) + 2(√3)·arctan[ (2x - 1) / √3 ] } + C
    ---
    İkinci İntegral:
    ∫[ (1 + x) / (1 + √x) ]dx = ?

    x = u^2 ⇒ dx = 2udu....(I)

    ∫[ (1 + u^2) / (1 + u) ]2udu =

    ∫[ u - 1 + 2 / (u + 1) ]2udu =

    ∫[ 2u^2 - 2u + 4u / (u + 1) ]du =

    ∫[ 2u^2 - 2u + 4 - 4 / (u + 1) ]du =

    2u^3 / 3 - u^2 + 4u - 4ln(u + 1) + C....(II)

    (I) değişken dönüşümünden u^3 = x^(3 / 2) ve u = √x yazılarak (II) ifadesinde yerlerine yazılırsa;

    2x^(3 / 2) / 3 - x + 4√x - 4ln(√x + 1) + C

    WolframAlpha Kontolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate ((1+x)/(1+sqrt(x)))dx
    Honore, 1 Şubat 2017
    #3

Sayfayı Paylaş