Çözüldü Mutlak Değer

a < 0 < b olmak üzere,

I. |x-a|=|x-b|
II. |x+a|=|x-b|
III. |x-a|=|x+b|

denklemlerinden hangilerinin çözüm kümesi a ve b'ye eşit uzaklıkta olan reel sayılardır?

A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve III
E) I, II ve III

değer vererek çözelim.
a=-1 ve b=5 olsun. a ve b ye eşit uzaklıktaki sayı 2 dir. çözüm yaptığımızda hangisinda cevap 2 çıkacak bakalım.

1) |x-(-1)|=|x-5| her iki tarafın karesini alırsak
x^2+2x+1=x^2-10x+25
x=2 çıkar.

2) |x-1|=|x-5| her iki tarafın karesi alınırsa
x^2-2x+1=x^2-10x+25
x=3 bu olmadı.

3) |x-(-1)|=|x+5| her iki tarafın karesi alınırsa
x^2+2x+1=x^2+10x+25
x=-3 bu da olmadı.

demek ki sadece 1.
bu arada her iki tarafın karesini alınca pozitif olduğundan mutlak değerleri yazmaya gerek kalmadı.
heralde... herhalde...

normal çözüm ise benzer şekilde yapılır. a ile b ye eşit uzaklıktaki sayı bunların toplamlarının yarısıdır.yani [a+b]/2
hangi şıkkın çözümünde x a+b/2 çıkıyor ona bakalım.

1. |x-a|=|x-b| bu tip mutlaklı sorular her iki tarafın karesi alınarak çözülebilir. başka yollar da var.biz her iki tarafın karesini alalım.
x^2-2ax+a^2=x^2-2bx+b^2 (x^2 ler sadeleşir ve kalanlar düzenlenirse)
a^2-b^2=2ax-2bx
(a-b).(a+b)=2x(a-b) {a-b ler 0 dan farklı olduğundan sadeleşir}
a+b=2x
x=(a+b)/2
bu istediğimiz gibi a ile b nin ortasındaki sayı çıktı.
diğerleri de benzer çözüldüğünde x (a+b)/2 çıkmayacaktır. o yüzden cevap a olur.

evet