Çözüldü Geometri - Sayısal Mantık (2 Soru)

Şöyle amatörce birşeyler yapmaya çalıştım:

Kare-Dikdörtgen Sorusu:
[Sonucu 10, karenin kenarını 8 (veya 6) ve bunlara bağlı olarak dikdörtgenin genişliğini de 4 (veya 2) buluyorum ama her iki a ve b değerleri de çizime ilişkin şartları sağlıyor. Diğer sorudaki seçeneklerde 64 bulunduğundan a = 8 olmalı.]

çemberin yarıçapı = r
karenin kenarı = a
dikdörtgenin genişliği = b

|DE| = 4 - a
|DO| = r - a + 4

DFO dik üçgeninde Pisagor Teoremi ile a^2 = r^2 - (r - a + 4)^2 ve iki kare farkı özdeşliği ile düzenlenirse;

a^2 = [ r + (r - a + 4) ]·[ r - (r - a + 4) ]

a^2 = (2r - a + 4)·(a - 4)....(I)

Çevre(ABCD) = 40 = 2[r + (r - a + 4) + b] ⇒ 2r - a + b = 16 ⇒ b = a - 2r + 16....(II)

Kare ve dikdörtgen alanlarının eşitliğinden a[sup]2[/sup] = (2r - a + 4)·b....(III)

(I) ve (III) eşitliklerinden b = a - 4....(IV)

(II) ve (IV) eşitliklerinden de a - 4 = a - 2r + 16 ⇒ r = 10....(V)

(I) ve (V) eşitliklerinden a^2 = (24 - a)(a - 4) ⇒ a^2 - 14a + 48 = 0 ⇒ a1 = 8 veya a2 = 6 ve (IV) eşitliği ile b1 = 4 veya b2 = 2 çıktı.

Kontrol:
Karenin alanı = 8^2 = 64
Dikdörtgenin alanı = (2·10 - 8 + 4)·4 = 16·4 = 64

Karenin alanı = 6^2 = 36
Dikdörtgenin alanı = (2·10 - 6 + 4)·2 = 18·2 = 36

Diğer soru: a = 8 için karenin alanı = 64
---
Boya Sorusu:
İlk kutu boyasız ve sonraki 5 kutu boyalı olmak üzere 6 grup şeklinde düşünülürse 40 ≡ 4(Mod 6) olduğundan 37. kutudan itibaren yeni bir grup başladığı için;

1---->37. Kutu: Boyasız
2---->38. Kutu: Kırmızı
3---->39. Kutu: Mavi
4---->40. Kutu: Yeşil

Sarı kutular 5, 11, 17, ... şeklinde gittiği için n ∈ N olmak üzere 5 + 6n ≤ 40 ⇒ n ≤ 5,8 ⇒ n = 5 tane sarı kutu olmalı.

Rica ederim, işe yaradıysa sevindim. Kolay gelsin, iyi çalışmalar.