Çözüldü trigonometri

1. Soru:
2 ile 180 arasındaki o nokta sorunun aslında olmamalı;
Aşağıdakilerden birini ifade etmek istemiş olabilirsiniz diye düşünüyorum:
A)
4 - { 3[ sin^2(180) ] / 8 } = 4

B)
4 - { 3 [sin^2(180 / 8) ] = 4 - 3sin^2(22,5)....(I)
cos45 = 1 - 2sin^2(22,5) ⇒ sin^(22,5) = (1 - cos45) / 2....(II)
(II), (I)'de yerine yazılırsa 4 - (3 / 2)·(1 - cos45) =
4 - (3 / 2)·[ 1 - (√2 / 2) ] =
4 - (3 / 2) + (3√2 / 4) =
(8 - 6 + 3√2) / 4 =
(2 + 3√2) / 4

C)
[ 4 - 3sin^2(180) ] / 8 = 1 / 2

Normalde operatör işlem önceliğine göre A seçeneği doğrudur çünkü önce sinüs fonksiyonu alınır.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=4-3sin^2(180)/8
---
Soru 2:
Aslında böyle yazılınca yine operatör işlem önceliğine göre 1 - cosx + cosx = 1 çıkar.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1-cosx/1+cosx=?

(1 - cosx) / (1 + cosx) sorulduğu varsayımıyla;
(1 - cosx) / (1 + cosx) = { 1 - [ 1 - 2sin^2(x / 2) ] } / { 1 + [ 2cos^2(x / 2) - 1 ] } =
tan^2(x / 2)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(1 - cosx) / (1 + cosx)
"Alternate forms:" bölümündeki ilk sonuç.
---
3. Soru:
cos12/cos4+sin12/sin4 = (sin4·cos12 + sin12·cos4) / [ (1 / 2)·sin8 ] =
2sin(12 + 4) / sin8 = 2sin16 / sin8 =
4·sin8·cos8 / sin8 = 4cos8

Sorudaki x de herhalde aslında 8 idi (cos8 = m verilmiş olmalı). O halde cevap 4m bence.
---
4. Soru:
Soruda birinci terimdeki x unutulmuş.
cos3x = cos(2x + x) = cos2x·cosx - sin2x·sinx =
[2cos^2(x) - 1]·cosx - 2sin^2(x)·cosx =
2cos^3(x) - cosx - 2[1 - cos^2(x)]·cosx =
2cos^3(x) - cosx - 2cosx + 2cos^3(x) =
4cos^3(x) - 3cos(x)
---
5. Soru:
Bu yazılışa göre yine önce tanjant fonksiyonu işleme gireceği için sonuç 0 çıkar.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=tan180/12

Eğer tan(180 / 12) soruluyorsa;
tan[ (180 / 3) - (180 / 4) ] = tan(60 - 45) =
(tan60 - tan45) / (1 + tan60·tan45) = (√3 - 1) / (1 + √3) =
(√3 - 1)^2 / (3 - 1) = (4 - 2√3) / 2 =
2 - √3
http://www.wolframalpha.com/input/?i=tan(15)
---
6. Soru:
Aslında (cot78·cot18 + 1) / (cot78 - cot18) işlemi soruluyor çünkü yazıldığı haliyle sonuç çok farklı.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=cot78*cot18+1/cot78-cot18=

(cot78·cot18 + 1) / (cot78 - cot18) = cot(78 - 18) = cot60 = √3 / 3

Not:
Nedense WolframAlpha bunu negatif ve bence yanlış buluyor. Onlara da "feedback" ile bildirdim.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(cot78*cot18 + 1) / (cot78 - cot18)
---
7. Soru:
Bu haliyle 1 + sinx + cosx + sinx - cosx = 1 + 2sinx
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1+sinx+cosx/1+sinx-cosx=

Aslında [ 1 + (sinx + cosx) ] / [1 + (sinx - cosx) ] soruluyor.
[ 1 + (sinx + cosx) ] / [1 + (sinx - cosx) ] = [ 1 + (cosx + sinx) ] / [1 - (cosx - sinx) ]

Pay ve payda [ 1 + (cosx - sinx) ] ile çarpılırsa;
{ [ 1 + (cosx + sinx) ]·[ 1 + (cosx - sinx) ] } / { [1 - (cosx - sinx) ]·[ 1 + (cosx - sinx) ] } =
[ 1 + cosx - sinx + cosx + sinx + cos^2(x) - sin^(x) } ] / [ 1^2 - (cox - sinx)^2 ] =
[ 2cosx + 2cos^2(x) ] / [ 1 - cos^2(x) + 2sinx·cosx - sin^2(x) ] =
2cosx(1 + cosx) / (2sinx·cosx) = (1 + cosx) / sinx =
[ 1 + 2cos^2(x / 2) - 1 ] / [ 2sin(x / 2)·cos(x / 2) ] =
cos(x / 2) / sin(x / 2) =
cot(x / 2)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(1 + sinx + cosx) / (1 +sinx -cosx)
---
8. Soru:
sin72 = sin(90 - 2·9) = cos(2·9) =
1 - 2sin^2(9) = A
[ (1 - A) / 2]^0,5 = sin9
Yâni;

Rica ederim, yararlı oluyorsa çok iyi.

1. Soru eğer 4 - 2sin^2(180 / 4) şeklindeyse;
4 - 2sin^2(180 / 4) = 4 - 2sin^2(45) =
4 - 2(sin45)^2 = 4 - 2(1 / √2)^2 =
4 - (2 / 2) = 4 - 1 = 3 buluyorum.

Bildiğim kadarıyla parantez kullanımının önemini yazmaya çalışayım:
Belli durumlarda parantezler gerçekten sorunun durumunu ve bu nedenle de çözümü tamamen değiştirebilir çünkü operatörlerin bu bakımdan belirlenmiş öncelikleri vardır. Bu konuda çok kaynak bulunabilir. Bazıları şunlar:
http://www.mathsisfun.com/operation-order-bodmas.html
http://www.math.utah.edu/online/1010/precedence/
http://www.rehberim.net/forum/matematik-geometri-416/79130-aritmetik-islemlerde-oncelik-sirasi.html

Özellikle hesap makineleri, bilgisayarlar, programlama dilleri, Internet üzerinden kullanılan WolframAlpha gibi çevrimiçi hesaplama araçları da bu işlem sırasına göre tasarlanıp çalıştıkları için doğru sonuca ulaşmakta gerektiği zaman parantez kullanımı şarttır.

WolframAlpha'ya birçok konuda problem çözdürülebiliyor ve grafik çizdirilebiliyor. Özellikle matematik alanındaki soru örnekleri için:
http://www.wolframalpha.com/examples/Math.html
adresinde gösterilmiş olanların incelenmesi çok yararlı olur. Buradaki alt başlıklara tıklandığında daha fazla sayıda örnek görülebiliyor.

Diğer konulardaki örnekler için: http://www.wolframalpha.com/examples/