Çözüldü İntegral - Türev (3 Soru)

Şöyle yapmaya çalıştım (daha pratik çözümler olabilir, yine simdilik idare edelim diye):

1. Soru:
u = x·tanθ ⇒ θ = arctan(u / x)....(I)
du = x·[ 1 + (tanθ)^2 ]dθ
∫ [ du / (x^2 + u^2) ] = ∫ x·[ 1 + (tanθ)^2 ]dθ / [ x^2 + (x·tanθ)^2 ] = (1 / x)·∫dθ = θ / x + C....(II)
(I) ve (II) eşitlikerinden ∫ [ du / (x^2 + u^2) ] = (1 / x)·arctan(u / x) + C
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate du / (x^2 + u^2)
---
2. Soru:
|AD| = x km ⇒ |CD| = 12 - x km
ABD dik üçgeninde Pisagor Teoremi ile |BD| = (x^2 + 25)^0,5 km
BD yolunda geçen süre t1 = (x^2 + 25)^0,5 km / 4 (km / saat) = (x^2 + 25)^0,5 / 4 saat...(I)
CD yolunda geçen süre t2 = (12 - x) / 6 (km / saat)
Toplam süre = t1 + t2 = t = [ (x^2 + 25)^0,5 / 4 ] + [ (12 - x) / 6 ] saat
Türev alınıp sıfıra eşitlenirse dt / dx = (1 / 4)·[ 2x / (x^2 + 25)^0,5 ] - (1 / 6) = 0 ⇒ 3x = 2(x^2 + 25)^0,5 ve her iki tarafın karesi alınıp düzenlenirse;
x^2 = 20 ⇒ x = 2√5 km.
---
3. Soru
tan(α + θ) = 10 / x
(tanα + tanθ) / (1 - tanα·tanθ) = 10 / x....(I)
tanθ = 4 / x....(II)
(II) eşitliği (I)'de yerine yazılıp düzenlenirse (x·tanα + 4) / (x - 4tanα) = 10 / x
Orantı kuralıyla x^2·tanα + 4x = 10x - 40tanα ⇒ tanα = 6x / (x^2 + 40) ⇒ α = arctan[ 6x / (x^2 + 40) ]
Türev alınıp sıfıra eşitlenirse dα / dx = { [ 6(x^2 + 40) - 2x·6x ] / (x^2 + 40)^2 } / { 1 + [ 6x / (x^2 + 40)^2 ] } = 0
dα / dx = (6x^2 + 240 - 12x^2) / [ (x^2 + 40)^2 + 36x^2 ] = 0 ⇒ 6x^2 = 240 ⇒ x^2 = 40 ⇒ x = 2√10

Bir süredir bakamıyordum, sorunuzu az önce gördüm ve şöyle yapmaya çalıştım:












WolframAlpha Kontrolu:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=differentiate W=2K+3L+100T-3T*sqrt(K*L) with respect to K
http://www.wolframalpha.com/input/?i=differentiate W=2K+3L+100T-3T*sqrt(K*L) with respect to L