Çözüldü Türev (6 Soru)

Rica ederim. Esas kısa çözümü daha sonra şöyle yapabildim.:
Diğer teğetin denklemi y = k·x + t ve eğriye değme noktasının apsisi x = -a....(I) olsun.
k = 3(-a)^2 = 3a^2....(II)
Teğet (2, 8) noktasından geçtiği için 8 = 2k + t ⇒ t = 8 - 2k ve teğetlik şartı için y = x^3 = k·x + 8 - 2k ve buradan da;
x^3 - k·x + 2k - 8 = 0....(III) olur.
(I) ve (II) değerleri (III) eşitliğinde yerlerine yazılırsa -a^3 - 3a^2(-a) + 2·3a^2 - 8 = 0 ve buradan da 2a^3 + 6a^2 - 8 = 0 olup 2 ile sadeleştirilirse;
a^3 + 3a^2 - 4 = 0 bulunur ki Rasyonel Kök Teoremi (Rational Root Theorem) gereğince son terimin çarpanlarından biri olan 1 değeri denklemi sağlar.
Yani a = 1 ve (II) eşitliğinden k = 3(1^2) = 3, ayrıca t = 8 - 2(3) = 2 bulunarak ikinci teğetin denklemi de y = 3x + 2 elde edilir.

Yeni sorularınıza da ilk fırsatta bakacağım.

Birinci Soru:
y' = √2·(1 / 4)·[ -sin(x / 4) ]
Teğetin eğimi = -(√2 / 4)·sin(π / 4) = -(√2 / 4)(√2 / 2) = - 1 / 4
Normalin Eğimi = 4
(Teğet ve normal birbirlerine dik olduklarından eğimleri çarpımı -1 olmalıdır.)
(π, 1) noktasında;
Teğet Denklemi: y - 1 = (-1 / 4)(x - π) ⇒ y = -x / 4 + π / 4 + 1 veya y = (-x + π + 4) / 4
Normal Denklemi: y - 1 = 4(x - π) ⇒ y = 4x - 4π + 1
---
İkinci Soru:
Kapalı fonksiyon Türevi (Implicit Differentiation) alınırsa;
2 + y' - √2·(1·y + x·y')·cos(x·y) = 0
x = π / 4 ve y = 1 için teğetin eğimi m;
2 + m - √2·[1·1 + (π / 4)·m]·cos[ (π / 4)·1 ] = 0
2 + m = √2[1 + (π / 4)·m]·(√2 / 2)
2 + m = 1 + (π / 4)·m
m[ 1 - (π / 4) ] = -1
m = 1 / [ (π / 4) - 1 ] = 4 / (π - 4)
Teğetin denklemi: y - 1 = [ 4 / (π - 4) ]·[ x - (π / 4) ] ve açılıp düzenlenirse (aslında bunun yapılması çok gerekli değil);
y = [ 4x / (π - 4) ] - [ π / (π - 4) ] + 1
y = [ 4x / (π - 4) ] - { [ π / (π - 4) ] - 1 }
y = [ 4x / (π - 4) ] - [ (π - π + 4) / (π - 4) ]
y = [ 4 / (π - 4) ]·(x - 1)

Maalesef ancak birkaç dakika önce gördüm sorunuzu. Böyle durumlarda değişken dönüştürme ile biraz daha kolaylaştırabilirsiniz. Ayrıca bulduğunuz sonucun doğruluğunu da WolframAlpha ile aşama aşama türev alarak kontrol edebilirsiniz.

u = x^2 ⇒ u' = 2x

y = cosu ⇒ y ' = -u'·sinu = -2x·sin(x^2)
WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=differentiate y=cos(x^2) with respect to x

y'' = -2·sin(x^2) + (-2x)·2x·cos(x^2)
y'' = -2sin(x^2) - (4x^2)·cos(x^2)
y'' = -2[ sin(x^2 + (2x^2)·cos(x^2) ]
WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=differentiate y'(x) = -2 x sin(x^2) with respect to x

y''' = -4x·cos(x^2) - { 8x·cos(x^2) + 4x^2·[-2x·sin(x^2) ] }
y''' = -4x·cos(x^2) - 8x·cos(x^2) + (8x^3)·sin(x^2)
y''' = -12x·cos(x^2) + (8x^3)·sin(x^2)
y''' = 4[ (2x^3)·sin(x^2) - 3x·cos(x^2) ]
WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=differentiate y''(x) = -2 (2x^2 cos(x^2)+sin(x^2)) with respect to x