Çözüldü Dörtgenler

Sayın Murat Hocam, sorunuzla çok uğraştım ama seçeneklerden farklı bir sonuç (2√21 ≈ 9,165) buluyorum. Başka bir foruma da yolladım, inşallah oradaki sayın hocalarımızdan zamanı olan bir hayırsever doğru çözümü yaparsa hemen buraya da alırım. Eğer sizde bir çözüm yoksa bu arada isterseniz siz de başka forumlara sorun çünkü buraya son zamanlarda maalesef kimse gelmez oldu.)


http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/dortgen.png

|BL| = |KL| = x olacak şekilde bir L noktası alınırsa |BL| = |KL| = |DK| = x....(I)
Alan(CDK) = Alan(CKL) = Alan(BCL) = S çünkü tabanları, (I) eşitliği ve yüksekliklerinin de aynı olması nedeniyle aynı uzunlukta.

|BD| = 3|DK| = 3x ⇒ |BK| = 2|DK| = 2x
Bu durumda alanları ve taban uzunlukları eşit olan CDK, CKL, BCL üçgenleri için ∡KCL =∡BCL = ∡DCK = 30 derecedir.
∡DCB = 3·30 = 90 derece olup ABCH dik yamuktur.

3S + 3A = 36 ⇒ S + A = Alan(ACD) = 12 = (1 / 2)·|AC|·6·sin30 ⇒ |AC| = 8
Alan(ACD) = 12 = 6·h / 2 ⇒ h = 4
ACH dik üçgeninde tan30 = 4 / (6 + |DH|) ⇒ |DH| = 4√3 - 6
Alan(ADH) = 4·(4√3 - 6) / 2 = 8√3 - 12
Alan(ABCH) = Alan(ADH) + Alan(ABCD) = 8√3 - 12 + 36 = 24 + 8√3....(II)

Alan(ABCH) = [ (|BC| + |AH|) / 2 ]·|CH| = [ (|BC| + 4) / 2 ]·(6 + 4√3 - 6) olup (II) eşitliğine göre;
[ (|BC| + 4) / 2 ]·4√3 = 24 + 8√3
(|BC| + 4) / 2 = (24 + 8√3) / 4√3 = (6 + 2√3) / √3 = (6 / √3) + 2 = 2√3 + 2
|BC| + 4 = 2(2√3 + 2) = 4√3 + 4 ⇒ |BC| = 4√3 + 4 - 4 = 4√3....(III)

BCD dik üçgeninde Pisagor Teoremi ile |BD| = [ 6^2 + (4√3)^2 ]^0,5 = (36 + 48)^0,5 = √84 = 2√21 ≈ 9,165

Murat Hocam, o bölümü aslında burada ayrıntılı vermemiştim ve kendime göre ispatladığımı sanıyordum ama sayın Şamil Akçağıl Hocamız onun hatalı olduğunu söyleyince bütün çözüm yıkılmış oldu ve üzerinde durmaya da gerek kalmadı. Sayın Şamiil Hocamız'ın açıklamaları şöyle:

Soru bence bu haliyle hatalı. Muhtemelen |AC| uzunluğunu istiyor. Hatalı olması |BD| uzunluğunun sabit değil değişken olmasından kaynaklanıyor.

Sorudaki şartlara uygun olarak birden fazla (gerçekte sonsuz sayıda) |BD| uzunluğu çizilebilir. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, B noktası ABCD dörtgeninin dış bükeyliğini bozmayacak biçimde AC ye paralel olan bir doğru üzerinde seçildiği müddetçe soruda verilen şartlar sağlar. Ancak açıkça görülebileceği gibi alınan her B noktası için birden fazla |BD| uzunluğu elde edilir.


http://fs5.directupload.net/images/160203/u55n2hc4.png
http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/u55n2hc4.png

Rica ederim Murat Hocam, sağ olsun Şamil Hocamız açıklayınca ben de öğrendim. Selamlar, saygılar.