Çözüldü III. Dereceden denklemler 2 soru

1. Soru:
a + b + c = 0 ⇒ a^3 + b^3 + c^3 = 3a·b·c eşitliği vardır (ispatı ayrı bir konu)

x^3 - 2x + 3 = 0 denklemi, ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 genel kübik denklemle karşılaştırılırsa a = 1, b = 0, c = -2, d = 3 olduğu görülür.

Genel kübik denklemde x1 + x2 + x3 = -b / a = - 0 / 1 = 0 olduğu için;

(x1)^3 + (x2)^3 + (x3)^3 = 3x1·x2·x3....(I) yazılır.

Genel kübik denklemde x1·x2·x3 = -d / a = -3 / 1 = -3 olup (I) eşitliğinde yerine konursa (x1)^3 + (x2)^3 + (x3)^3 = 3(-3) = -9 bulunur.

Sorunun Yedeği: http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/57BDDq.jpg
---
2. Soru:
Yukarıdaki genel açıklamalara göre;
a = 1
b = 2m - 3
c = -(m + 1)
d = -m + 3 olduğundan problemdeki ifade;

(x1·x2 + x1·x3 + x2·x3) / (x1·x2·x3) = 2....(I) olur.

Genel kübik denklemde;
x1·x2 + x1·x3 + x2·x3 = c / a = -(m + 1) / 1 = -m - 1....(II)
x1·x2·x3 = -d / a = - (-m + 3) / 1 = m - 3....(III)

(II) ve (III) değerleri, (I) eşitliğinde yerlerine yazılırsa (-m - 1) / (m - 3) = 2 ⇒ m = 5 / 3....(IV) olur ve bu değer (III) eşitliğinde kullanılırsa;

x1·x2·x3 = 5 / 3 - 3 = (5 - 9) / 3 = -4 / 3 bulunur.

Sorunun Yedeği: http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/VabrQr.jpg