Çözüldü Düzgün Beşgende Uzunluk - Trigonometri

https://image.ibb.co/j6M73J/be_gen.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2092079564347392&set=g.1091681720847192&type=1&theater&ifg=1

Kısa bir çözüm yapılana kadar maalesef yine trigonometri çilesi oldu. Çözüme göre açılarla kenar uzunluklarının şekil üzerinde yazılması ve bazı ara işlemlerin yapılması da varsa ilgilenen ve trigonometriye meraklı öğrencilere ödev.

Düzgün beşgenin bir iç açısı (5 - 2)·180° / 5 = 108° ve kenar uzunluğu a birim.
|HF| = x birim
[AG] ⊥ [CD]
∡DEC = ∡DCE = (180° - 108°) / 2 = 36° = ∡ECA = ∡ACB = ∡CAB ⇒ ∡CBF = 36° + 36° = 72° (veya 180° - 108° = 72°)
∡BCF = ∡BFC = (180° - 72°) / 2 = 54°
∡ACF = 36° + 54° = 90° ⇒ |CF| = 2a·cos54°
[CE] // [AB]
∡EFA = ∡CEF = θ ⇒ ∡FEA = 108° - 36° - θ = 72° - θ
∡EAG = 360° - 90° - 108° - 108° = 54°
[DE] // [AC]
∡DCA = ∡EAC = 180° - 108° = 72° ⇒ ∡GAC = 90° - 72° = 18°
ΔCDE için Sinüs Teoremi ile |CE| / sin108° = a / sin36° ⇒ |CE| = 2a·sin54°= |AC|
ΔCEF için Sinüs Teoremi ile |EF| / sin(72° + 54°) = 2a·cos54° / sinθ
18 / sin(180° - 126°) = 2a·cos54° / sinθ ⇒ a = 18·sinθ / cos18°....(I)
ΔAFE için Sinüs Teoremi ile |EF| / sin108° = 2a / sin(72° - θ) ve (I) değeri burada sağ taraftaki yerine yazılırsa;
18 / sin72° = [ 2(18·sinθ / cos18°) ] / sin(72° - θ)
sin(72° - θ) = 2sinθ ⇒ cos(θ + 18°) = 2sinθ ⇒ tanθ = cos18° / (2 + sin18°)....(II)
H noktasından [AF] kenarına inilen dikmenin ayağı T olsun.
|HT| = x·sinθ ⇒ |AT| = x·sinθ·cot54....(III)
|FT| = x·cosθ....(IV)
(III) ve (IV) eşitlikleri kullanılarak x·sinθ·cot54 + x·cosθ = |AF| = 2a ve (I) eşitliği burada yerine konursa;
x·(sinθ·cot54° + cosθ) = 2(18·sinθ / cos18°)
x·(tanθ·cot54° + 1) = 36·tanθ / cos18° ve (II) eşitliği burada sol taraftaki yerine taşınırsa;
x·{ [ cos18° / (2 + sin18°) ]·cot54° + 1 } = { 36·[ cos18° / (2 + sin18°) ] } / cos18°
x·(cos18°·cot54° + 2 + sin18°) = 36
x = 36 / (cos18°·cot54° + 2 + sin18°)
x = 36 / (cos18°·tan36° + 2 + sin18°)
x = 36 / (cos18°·sin36° / cos36° + 2 + sin18°)
x = 36·cos36° / (cos18°·sin36° + sin18°·cos36° + 2·cos36°)
x = 36·cos36° / [ sin(36° + 18°) + 2·cos36° ]
x = 36·cos36° / (sin54° + 2·cos36°)
x = 36·cos36° / (cos36° + 2·cos36°)
x = 36 / (1 + 2)
x = 12 birim