Soru Türev - Doğrunun Analitiği - Üstel ve Köklü Sayılar

https://i.ibb.co/PFnLRz9/Grafik3-soru.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=662258617549909&set=gm.2699132943435387&type=3&theater&ifg=1

y' = -2 / (x^3) ve A(a, b) noktasından geçen teğetin denklemi y - b = [ -2 / (a^3) ](x - a) ⇒ 2x + (a^3)y - (a^3)b - 2a = 0....(I)

Orijininin (I) doğrusuna (fonksiyonun teğetine) uzaklığı c = |0·2 + 0·(a^3) - (a^3)b - 2a| / [ 2^2 + (a^3)^2 ]^0,5 = [ (a^3)b + 2a ] / √(a^6 + 4)....(II) ve b = f(a) = 1 / a^2 değeri (II) ifadesindeki yerine konularak c = 3a / √(a^6 + 4)....(III)

En kısa uzaklığın bulunması için (III) ifadesinde a değişkenine göre türev alınırsa;

dc / da = 3√(a^6 + 4) - { 6(a^5) / [ 2√(a^6 + 4) ] }·3a = 0

6(a^6 + 4) - 18(a^6) = 0 ⇒ a = 2^(1 / 6)....(IV) ⇒ b = 1 / a^2 = 4^(-1 / 6)....(V)

(IV) değeri (III) eşitliğinde kullanılarak; c = 3[ 2^(1 / 6) ] / √6 = (27 / 4)^(1 / 6)....(VI)

b·(c^2) = [ 4^(-1 / 6) ]·9[ 4^(1 / 6) ] / 6 = 9 / 6 = 3 / 2 olup birinci öncül doğru,

b^3 = 64^(-1 / 6) = 1 / 2....(VII) ve a^6 = 2....(VIII) değerleriyle (b^3)(a^6) = (1 / 2)·2 = 1 olup ikinci öncül doğru,

a^2 = 4^(1 / 6)....(IX) ve (VI) değerleriyle (a^2)·c = [ 4^(1 / 6) ]·[ (27 / 4)^(1 / 6) ] = [ 4·(27 / 4) ]^(1 / 6) = (3^3)^(1 / 6) = 3^(1 / 2) = √3 olup üçüncü öncül de doğru.

(D) seçeneğinin yanlış işaretlendiğini düşünüyorum.

Notlar:
1) Orijinden geçen normalin denklemi (IV) değerine göre y = [ (a^3) / 2 ]x = [ 8^(1 / 6) ]x / 2
2) En kısa uzaklık: |AO| = c = (27 / 4)^(1 / 6) ≈ 1,37473
WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=distance between (2^(1/6),4^(-1/6)) and (0,0)

Grafik:

https://i.ibb.co/0X2hFB3/Grafik3.png