Soru Trigonometrik Denklem

Piyasadan bir soru:
x ∈ [0, 2π) için sinx + 2cosx = (√5) / 2 denkleminin kökleri arasındaki farkın mutlak değeri kaçtır?
https://i.ibb.co/0DL3cT8/trigonometrik-denklem2.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=126158652045468&set=gm.1641321989338671&type=3&theater
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

2π / 3 seçeneğinin yanlış işaretlendiğini veya cevap anahtarının hatalı olduğunu düşünüyorum çünkü grafik de 4π / 3 değerini doğruluyor;
(yine de göremediğim bir hata yaparak grafik programını da yanıltıyorsam bilen bir hayırseverce bildirilmesini rica ederim, şimdiden çok teşekkürler)

tanθ = 2 eşitliğine uygun dik üçgende Pisagor Teoremi ile hipotenüs = (1^2 + 2^2)^0,5 = √5 olup ⇒ sinθ = 2 / √5 ve cosθ = 1 / √5....(I), ayrıca θ = arctan2....(II) yazılır.
sinx + [ (sinθ) / cosθ ]cosx = (√5) / 2
(cosθ)sinx + (sinθ)cosx = [ (√5) / 2 ]cosθ
sin(x + θ) = [ (√5) / 2 ]cosθ eşitliğinde (I) ve (II) ifadeleri kullanılıp,
sin(x + arctan2) = [ (√5) / 2 ](1 / √5)
sin(x + arctan2) = 1 / 2
sin(x + arctan2) = sin(π / 6)....(III)
k ∈ Z olmak üzere (III) eşitliğinden;
x + arctan2 = (π - π / 6) + 2kπ ⇒ x = 5π / 6 - arctan2 + 2kπ....(IV)
x + arctan2 = π / 6 + 2kπ ⇒ x = π / 6 - arctan2 + 2kπ....(V)
(IV) eşitliğinden;
k = 0 için x1 = 5π / 6 - arctan2 > 0....(VI)
(V) eşitliğinden;
k = 0 için x = π / 6 - arctan2 < 0 (çünkü arctan2 > arctan1 = π / 4)
k = 1 için x2 = 13π / 6 - arctan2 > 0....(VII)
(VI) ve (VII) eşitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa;
|x1 - x2| = |5π / 6 - arctan2 - (13π / 6 - arctan2)|
|x1 - x2| = |-8π / 6|
|x1 - x2| = |-4π / 3|
|x1 - x2| = 4π / 3

Grafik:

https://i.ibb.co/2q08kJ5/trigonometrik-denklem2-2.png