Çözüldü Türev Uygulaması - Trigonometri

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/minare10.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=487209065142589&set=gm.1454829084654630&type=3&theater
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için sorunun aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

Cevap 60 verilmiş ama bence 30 olmalı.

Çözüm - 1:
∡BDC = φ
tan(φ) = 20 / x....(I)
tan(θ + φ) = 45 / x....(II)
(II) eşitliğinden [ tan(θ) + tan(φ) ] / { 1 - [ tan(θ) ]·[ tan(φ) ] } = 45 / x....(III)
(I) ifadesi (III) eşitliğinde kullanılarak;
[ tan(θ) + 20 / x ] / { 1 - [ tan(θ) ]·(20 / x) } = 45 / x ⇒ θ = f(x) = arctan[ 25x / (x^2 + 900) ]....(IV)
(IV) eşitliğinde x değişkenine göre türev alınıp sıfıra eşitlenirse;
dθ / dx = { [ 25(x^2 + 900) - 2x·(25x) ] / (x^2 + 900)^2 } / { 1 + [ 25x / (x^2 + 900) ]^2 } = 0
dθ / dx = { 25(900 - x^2) / (x^2 + 900)^2 }{ (x^2 + 900)^2 / [ (x^2 + 900)^2 + 625x^2 ] } = 0
dθ / dx = 25(900 - x^2) / [ (x^2 + 900)^2 + 625x^2 ] = 0
900 - x^2 = 0 ⇒ x = 30 metre

x = 30 metre için
θ = f(30) = arctan[ 25·30 / (30^2 + 900) ] ≈ 22,62° iken doğru yanıt olduğu söylenen x = 60 metre için ise;
θ = f(60) = arctan[ 25·60 / (60^2 + 900) ] ≈ 18,43° olup 60 metredeki görüş açısı daha küçüktür.
x = 75 metre için de
θ = f(75) = arctan[ 25·75 / (75^2 + 900) ] ≈ 16,78° görüş açısı daha da küçülmektedir.
---
Çözüm - 2:
Pisagor Teoremi ile |AD| = √(x^2 + 45^2) ve |BD| = √(x^2 + 20^2)
∡ABD = 90° + φ
∆ABD için Sinüs Teoremi ile 25 / sin(θ) = √(x^2 + 45^2) / sin(90° + φ) olup düzenlenirse;
25 / sin(θ) = √(x^2 + 45^2) / cos(φ)....(V)
cos(φ) = x / √(x^2 + 20^2)....(VI)
(VI) ifadesi (V) eşitliğindeki yerine yazılıp düzenlenerek; sin(θ) = 25x / [ (x^2 + 45^2)(x^2 + 20^2) ]^0,5
θ = g(x) = arcsin{ 25x / [ (x^2 + 45^2)(x^2 + 20^2) ]^0,5 } = arcsin{ 25x / [ (x^4 + 2425x^2 + 81·10^4)^0,5 ] }....(VII)
(VII) eşitliğinde x değişkenine göre türev alınıp sıfıra eşitlenirse (basit ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
dθ/dx = -[ 25(x^4 - 810000) ] / { [ (x^4 + 2425x^2 + 810000)^(3/2) ]·√[ (x^2 + 900)^2 / (x^4 + 2425x^2 + 810000) ] } = 0
x^4 - 810000 ⇒ x = 30 metre yine bulunmaktadır.