Çözüldü Ters Laplace Dönüşümü (3 Soru)

İnşallah mezuniyetiniz size sağlık ve mutluluk içinde başarılarla dolu çok güzel bir gelecek getirir.
---
Kökleri gerçel değil diye o gün bununla zaman kaybetmeyelim demiştik ama aslında çok da karışık değil, yapalım da eksik kalmasın, sınavda benzeri belki çıkar filan hazır olalım, WolframAlpha (WA) kullanımı konusunda da pratik olur:
H(s) = 25 / [ (s^3)(s^2 + 4s + 5) ] ≡ A / s^3 + B / s^2 + C / s + (D·s + E) / (s^2 + 4s + 5)
25 = A(s^2 + 4s + 5) + B·s·(s^2 + 4s + 5) + C(s^2)(s^2 + 4s + 5) + (s^3)(D·s + E)
25 = (C + D)·(s^4) + (B + 4C + E)·(s^3) + (A + 4B + 5C)·(s^2) + (4A + 5B)·s + 5A
C + D = 0,
B + 4C + E = 0,
A + 4B + 5C = 0,
4A + 5B = 0,
5A = 25
Bu denklemleri yazdıktan sonra sınavda çözmek için hiç zaman kaybetmeden işi WA'ya yıkmak yeter çünkü bu katsayıların nasıl bulunduğunun, yani bu 4 bilinmeyenli denklem sisteminin nasıl çözüldüğünün de gösterilmesi gereksizdir (zaten A hemen 5 çıkıyor ve 3 bilinmeyene kalıyor) ve bundan dolayı not kırılabileceğini düşünemiyorum.

O halde son beş satır kopyalanıp WA'nın hesap kutusuna yazıldığında A = 5, B = -4, C = 11 / 5, D = -11 / 5, E = -24 / 5 bulunur.

WA hesap kutusuna;
partial fractions 25 / [ (s^3)(s^2 + 4s + 5) ]

yazıldığında çıkan ilk sonuçta sanal kökler varsa aşağıya doğru "Alternate forms:" bölümündeki "Expanded form" kısmına bakıldığında orada esas lazım olan kesirlere ayrılmış hali;
5 / s^3 - (11s) / (5(s^2 + 4s + 5)) - 24 / (5(s^2 + 4s + 5)) - 4 / s^2 + 11 / (5s) olarak görülür ve işlem kolaylığına göre katsayılar da düzenlenerek sıralanırsa;
(5 / 2)·(2! / s^3) - 4 / s^2 + (11 / 5) / s - (11 / 5)·[ s / (s^2 + 4s + 5) ] - (24 / 5) / (s^2 + 4s + 5) ] =
(5 / 2)·(2! / s^3) - 4 / s^2 + (11 / 5) / s - (11 / 5)·[ s - (-2) - 2 ] / { [ s - (-2) ]^2 + 1^2 } - (24 / 5) / { [ s - (-2) ]^2 + 1^2 } =
(5 / 2)·(2! / s^3) - 4 / s^2 + (11 / 5) / s - (11 / 5)·[ s - (-2) ] / { [ s - (-2) ]^2 + 1^2 } + (22 / 5) / { [ s - (-2) ]^2 + 1^2 } - (24 / 5) / { [ s - (-2) ]^2 + 1^2 } =
(5 / 2)·(2! / s^3) - 4 / s^2 + (11 / 5) / s - (11 / 5)·[ s - (-2) ] / { [ s - (-2) ]^2 + 1^2 } - (2 / 5) · 1 / { [ s - (-2) ]^2 + 1^2 } şeklinde ters Laplace dönüşümü yapılabilecek standart fonksiyonlar haline gelir ve tablodaki ters dönüşümlerle;
(5 / 2)·(t^2) - 4t + 11 / 5 - (11 / 5)·[ e^(-2t) ]·cos(1·t) - (2 / 5)·[ e^(-2t) ]·sin(1·t) =
(5 / 2)·(t^2) - 4t + 11 / 5 - (11 / 5)·[ e^(-2t) ]·cos(t) - (2 / 5)·[ e^(-2t) ]·sin(t)

WA'nın verdiği sonuçlardan en alttaki "Alternate form assuming t is real:" bölümünde;
1/10(25t^2 - 40t - 4e^(-2t)sin(t) - 22e^(-2t)cos(t) + 22) olan ifadenin de aynısı olduğu görülür.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse laplace transform 25 / [ (s^3)(s^2 + 4s + 5) ]

Not: Varsa takıldığınız fizik sorularını da lütfen yazın.

Lütfen en küçük bir tereddüt kalmasın, neresi karışık görünüyorsa sorun.