Soru İstatistikte Normal Dağılış (3 Soru)

Bilindiği gibi herhangi bir öğretmenlik niteliğim yok ama amatör bilgilerimle yardımcı olmaya çalıştım. Tanıdığınız bir asistan veya hoca varsa ve kontrol ettirebilirseniz iyi olur.

Soru - 2
"Merkezi Limit Teoremine göre büyük n'ler için (n ≥ 30), Binom Dağılışı gösteren x kesikli değişkeni, ortalaması μ = n·p ve varyansı
σ^2 = n·p·q olan normal dağılış gösterir. Teoremin verdiği bu sonuca göre, normal dağılış eğrisi altında kalan alanlar, yaklaşık olarak binom dağılışı olasılıklarına eşittir."
("İstatistiğe Giriş", Doç.Dr. Halis Püskülcü, Doç.Dr. Fikret İkiz, Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Ders Kitapları, Yayın No: 1, İkinci Baskı, 1986, sayfa 124)

Seçilen 400 kişinin 14 yaşına kadar içtikleri ortalama sigara sayısı: μ = 400·(2 / 5) = 160 sigara
Standart Sapma: σ = √(n·p·q) = [ 400·(2 / 5)·(1 - 2 / 5) ]^0,5 = 4·√6
z dönüşümü: z = (170 - 160) / (4·√6) ≈ 1,021
Normal Dağılış Tablosu'ndan 1,021'e karşılık gelen alanlar toplamı soldaki sütunda 1.00 ve üstteki sütunlardan 0,02 ile 0,03 değerlerinin kesiştiği 0,3461 ve 0,3485 olasılıklarının toplamının aritmetik ortalaması alınıp 0,5'e eklenerek;
P(x ≤ 170) = P(z ≤ 1,021) ≈ 0,5 + [ (0,3461 + 0,3485) / 2 ] ≈ 0,8473

WolframAlpha (WA) Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/istati10.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=P(z<=1.021)

Sonuç: Seçilen 400 kişiden 170 veya daha azının 14 yaşına gelene kadar %85 olasılıkla sigara alışkanlığı edindiği söylenebilir.

Notlar:
1. WA ilgili integral işlemini yaparak sonucu hesapladığından tablolarda verilen değerden daha hassas gösterir.
2. Aslında soruda biraz karışıklık var ve bunun giderilmesi için "Sigara içen 400 yetişkin" denilmesi daha doğru olurdu çünkü cümledeki "400 sigara içen" ifadesinden içilen sigara sayısının 400 olabileceği gibi bir anlam da çıkabiliyor.
---
Soru - 3
μ1 = 200 kg, n1 = 100 parça, σ1 = 13,5 kg
μ2 = 180 kg, n1 = 50 parça, σ2 = 9 kg
Dayanma güçleri arasındaki ortalama fark: μ1 - μ12 = 200 - 180 = 20 kg
İki ortalama farkının standart sapması: σ = (13,5^2 / 100 + 9^2 / 50)^0,5 ≈ 1,855

A)
P[ x < (17 - 20) / 1,855 ] = P(z < -1,617) ≈ 0,053

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/istati12.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=P(z < -1.617)

B)
P[ x > (15 - 20) / 1,855 ] = P(z > -2,695) ≈ 0,996
(Zaten ortalama dayanma güçleri arası farkın 20 kg olduğuna dikkat edilirse en az 15 kg fark olmasına ilişkin 1'e yakın bir olasılık çıkması bence mantıklı.)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/istati13.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=P(z > -2.695)
---
Soru - 4
μ1 - μ2 = 0,45 - 0,33 = 0,12
σ = [ 0,45·(1 - 0,45) / 100 + 0,33·(1 - 0,33) / 100 ]^0,5 ≈ 0,07
P[ z > (0,12 - 0,10) / 0,07 ] = P(z > 0,285) ≈ 0,387


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/istati11.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i= P(z > 0.285)

Soruların Yedeği: https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/screen10.jpg
---

Rica ederim, iyi çalışmalar.