Çözüldü Olasılık

1.
Bir sınıfta 9 ERKEK , 6 BAYAN vardır . Rastgele seçilen 3 kişinin bayan olma olasılığı kaçtır ?
şimdi biz burada 2 yol yapıyoruz :
1.cisi (6/15) x (5/14) x (4/13)
2.cisi C(6,3) / C(15,3)

1. 2 çözüm arasındaki mantığı tam olarak kavrayamadım . 1cisinde permütasyon mantığı ile yaptık fakat Bayan1 , Bayan2 , Bayan 3 oldu bunları kendi aralarında sıralamamız gerekmez mi yoksa alt tarafta da aynı sıralamayı yaptığımız için bu işlemde yazılmadı mı ? (6 x 5 x 4 x 3! / 15 x 14 x 13 x 3!)

2. kombinasyon mantığında sıralama yapmıyoruz çünkü kendisi sıralamayı yapıyor fakat nasıl işliyor bu mekanizma tam kafama yatmadı nasıl sıralama yapıyor kendi kendine ?

2.
Bir torbada 9 MAVİ TOP , 6 KIRMIZI TOP vardır. Rastgele 2 top seçiliyor.
A . 2sninde mavi olma olasılığı kaçtır ?
B. 2sninde farklı renkte olma olasılığı kaçtır ?

A.
1. yol : 9/15 x 8/14 burada 2 mavi topun kendi arasında yer değiştirmesi 2! ve aşağıdaki rastgele 2 topunda kendi arasında yer değiştirmesi 2! olduğu için işleme yazılmadı değil mi ? Eğer mavi ve kırmızı toplar özdeş olsaydı 2!/2! ve alttaki toplarında yer değiştirmesi yine 2! olacağından cevabı 2 ye bölecek miydik ?

2.yol C(9,2) / C(15,2) yine burada kendisi seçme yaptı(1ci soruda sorduğum sorunun aynısını tekrarlamaya gerek yok ) tamam fakat toplar özdeş dese idi ne olurdu ?

B.
1.yol 9/15 x 6/14 x 2! yine burada ben ilk mavi topu ikincisi kırmızı topu seçtim kendi aralarında 2! yer değiştirmesi dedim fakat alttaki 2 topunda kendi arasında yer değiştirmesi 2! neden yazılmadı ?

2.yol C(9,1) x C(6,1) / C(15,2) burada kendisi sıralama yaptığı için bir sorun yok üstteki 2 kombinasyon sorusunun cevabını aldığımda bunu da anlamış olacağım.

3.
6 evli çift arasında rastgele seçilen 2 kişinin evli çift olma olasılığı kaçtır ?

1.yol 12/12 x 1/11 burada ilk başta seçtiğim biri atıyorum E2 seçtim BÖLÜM 12 kişi arasından birini seçtim ÇARPIM E2 nin çifti K2 olduğundan 1 BÖLÜM 11 kişi arasından biri dedim ?

2.yol 6/12 x 1/11 x 2! burada ilk önce erkeklerden birini atıyorum E3 seçtim BÖLÜM 12 kişi arasından birini seçtim ÇARPIM E3 ün çifti K3 olduğundan 1 BÖLÜM 11 ve 2! faktöriyel 2 kişinin yer değiştirmesi dedim.Burada tekrar alttaki 12 x 11 in kendi arasında yer değiştirmesini sormayacağım üstte sordum.

3.yol C(6,1) / C(12,2) burada sıralamayı kendisi yaptı , üstte 6 çiftten birini seçtim.

4.
3 basamaklı abc doğal sayılarından rastgele biri seçiliyor . Seçilen bu sayının a<b<c şartını sağlama olasılığı kaçtır ?

1.yol
tüm olay 3 basamaklı abc doğal sayıları permütasyondan 9 x 10 x 10 900 tane sayımız var yada 100 ve 999 arasındaki sayılar.
istenilen olay burada C(9,3) diyoruz çünkü kombinasyon bizim yerimize a<b<c şartını sağlayacak yani cevap C(9,3) / 900 şimdi üstte sıralama yapıldı altta sıralama yapılmamasının nedeni zaten permütasyonla yapılmış olması yani sıralamasının yapılmış olması mıdır ?

2.yol
bizim herhangi iki sayının birbirine eşit olmadığı toplam 6 olayımız var bunlar :
a<b<c
a<c<b
b<a<c
b<c<a
c<a<b
c<b<a

bizden istenilen bir şart bu mantıktan giderek nasıl bir çözüm elde edebilir ?

permütasyonla nasıl bir çözüm elde edebiliriz.
Mesela ( 9 x 9 x 8 ) x 1/6 yani ilk sayımız 9 sayıdan biri 0 yok ÇARPIM ikinci sayımız 8sayı ve 0 ekleriz 9 sayıdan biri ÇARPIM geri kalan 8 sayından biri .
yani istenilen olay 9 x 9 x 8 in 6 da biri BÖLÜM tüm olay buda 9 x 10 x 10 dan cevap 3/25 buluyorum fakat cevap 7/75.

yada

toplamda a b ve c için 16 durumuz var değil mi ? a<b=c , a=b=c vb ... 16da biri desek olmuyor mu bunun sebebi her durumun gerçekleşme miktarı farklı olduğu için mi ve benim bu 2 çözümüm başa sıfır alamadığımız için mi gerçekleşmiyor.

Teşekkür ederim biraz uzun oldu kusura bakmayın

Teşekkür ederim özellikle son soru önemliydi benim için aradığım cevap toplam çarpımla çözümüydü. rakamları buluyordum fakat toplam formülüne dönüştüremiyordum.

Öncelikle sorularınız güzel. Zaten sorudan ziyade olasılık işlemlerinin neden bu şekilde yapıldığını sormuşsunuz.
Sorularınıza geçelim.

1) Burada basit bir olasılık sorusu üzerinden olasılık sorularında yapılan 2 temel çözüm yolunu da kendiniz göstermişsiniz. Ama bazı yerlerini anlayamadığınızı söylüyorsunuz.

Şimdi olasılık sorularındaki bu 2 temel çözüm yolunu ben de kendimce izah etmeye çalışayım :

İlk yolumuz : İstediğimiz tüm olayları düşünelim. Tüm olayların ayrı ayrı gerçekleşme olasılıklarını hesaplayalım ve bu olayların olasılıklarını toplayalım.
İkinci yolumuz : Oluşabilecek tüm durumların kaç tane olduğunu bulalım. Oluşabilecek istediğimiz durumların kaç tane olduğunu bulalım. Ardından istediğimiz durum sayısını, tüm durum sayısına bölelim ve aradığımız olasılığı bulalım.

Şimdi olasılık sorularının %80'ında bu 2 yoldan istediğimiz birini kullanmamız mümkün.
Ama bazı olasılık sorularının sadece tek bir yoldan çözümü olabiliyor. ( Aslında o tarz soruların da 2 yoldan çözümü yapılabilir ama bir yol çok basit diğer yol çok çok zor olabiliyor)

Neyse gelelim senin sorduğun sorunun 2 yoldan da çözümüne :

Soru : Bir sınıfta 9 ERKEK , 6 BAYAN vardır . Rastgele seçilen 3 kişinin bayan olma olasılığı kaçtır ?
1.Yoldan Çözümü : İstediğim tek olay BBB gelme durumu.
İlk B'nin gelme olasılığı = 6/15
İkinci B'nin gelme olasılığı = 5/14
Üçüncü B'nin gelme olasılığı = 4/13
O halde 3 defa BBB gelme olasılığı = (6/15) . (5/14) . (4/13) olur.

Gelelim senin sorduğun "1.Yolda neden bir sıralama yapmadık ? " sorusuna. Çünkü biz şuanda ille de Bayan1 - Bayan2 - Bayan3 sıralamasıyla 3 bayan seçmiş olmadık. Biz aslında rastgele 3 tane bayan seçmiş ve bu 3 bayanı da kendi arasında sıralamış oluyoruz bu işlemle zaten.

Kafa karıştırıcı geldiğini biliyorum. Zira ben de kafamdakileri aktarmakta zorlanıyorum. Olasılık gerçekten beyin yakan bir konu...


Neyse 2.Temel yoldan çözüme geçelim:

Şahsen bana 1. Yoldan çözümler çok daha basit geliyor.
Ama 2.Yoldan çözümünü de yapacak olursak :
Tüm durum sayısı = 15 kişi arasından 3 kişi seçme işlemi = C(15,3) farklı şekilde seçilebilir.
İstenen durum sayısı = Elimizde 6 kız var, bunlar arasından 3 kişi seçme işlemi = C(6,3) farklı şekilde yapılabilir.
O halde olasılık = İstenen / Tüm durumlar = C(6,3) / C(15,3)

Gelelim 2.Sorduğun soruya " kombinasyon mantığında sıralama yapmıyoruz çünkü kendisi sıralamayı yapıyor fakat nasıl işliyor bu mekanizma tam kafama yatmadı nasıl sıralama yapıyor kendi kendine ? " Bu mekanizma şöyle işliyor. Sen aslında kombinasyon yaparak "SEÇME" işlemi yapıyorsun sıralama yapmayla bir işin yok. Zaten Ali -Berk - Cem sırasıyla bu 3ünü seçmekle Cem - Berk - Ali sırasıyla bu 3 kişiyi seçmek arasında bir fark yok. Biz burada kaç farklı sıralandığını bulmuyoruz zaten. Bulduğumuz şey 6 kişi arasından 3 kişiyi kaç farklı şekilde seçebileceğimizin sayısı.

2)
Bir torbada 9 MAVİ TOP , 6 KIRMIZI TOP vardır. Rastgele 2 top seçiliyor.
A . 2sninde mavi olma olasılığı kaçtır ?
B. 2sninde farklı renkte olma olasılığı kaçtır ?

Burda da aynı şeyleri tekrarlamaya gerek yok. Üstteki soruda sorduğun şeyin aynısını sormuşsun diyebiliriz. Bunun da 2 yoldan çözümünü resimlerle anlatıyorum.

1.Temel Yoldan Çözümü aşağıda :

Yukarıdaki resimde de gördüğün gibi aslında biz istediğimiz 2 farklı olayı yazıyoruz ve iki olayın da ayrı ayrı olasılıklarını hesaplayıp ardından bunları topluyoruz. Ancak iki olayımızın da gerçekleşme olasılıkları aynı olduğu için aslında 1 olayı bulup 2 ile çarpma işlemi yapmış oluyoruz. Aynı şekil 3 kişi olsaydı. Bir olayın gerçekleşme olasılığını bulup 3! ile yani 6 ile çarpacaktık çünkü 6 tane aynı olasılıkta olayımız olmuş olacaktı. Umarım bir şeyler anlatabilmişimdir. Yan yana olsaydık daha rahat izah ederdim ama uzaktan bu kadar oluyor.

3) 6 evli çift arasında rastgele seçilen 2 kişinin evli çift olma olasılığı kaçtır ?
1. Yol :
12 kişi arasından seçeceğim ilk kişi herkes olabilir hiç farketmez. Dolayısıyla 12/12
Kalan 11 kişi arasından seçeceğim ikinci kişi ille de ilk seçtiğim kişinin eşi olmalı. Dolayısıyla 1/11
Cevap = (12/12) . (1/11)
2.Yol :
Tüm durum sayısı : 12 kişi arasından 2 kişi seçme durumu = C(12,2) farklı şekilde seçilebilir.
İstenen durum sayısı : 6 evli çift arasından 1 evli çift seçme durumu = C(6,1) farklı şekilde seçilebilir.
Cevap = C(6,1) / C(12,2)
4)3 basamaklı abc doğal sayılarından rastgele biri seçiliyor . Seçilen bu sayının a<b<c şartını sağlama olasılığı kaçtır ?
Bu soru tipinde mesela. İkinci yoldan çözmenin çok daha basit olduğu sorulardan birisi bu.
Önce 2.Yoldan çözüyorum bu soruyu :
Tüm durum : 9x10x10 = 900 ya da 100 ile 999 arasındaki 3 basamaklı sayılar gibi düşünülüp gene 900 olarak bulunabilir.
İstenen durum = 0 rakamını seçemeyiz. Çünkü seçersek başa yazmamız gerekir ama başa yazarsakta 3 basamaklı sayı olmamış olur.
Dolayısıyla kalan 9 tane rakam arasından 3 tane rakamı seçmeliyiz.
İstenen durum = C(9,3) olur
Olasılık = C(9,3) / 900 = 7/75 olur.

Bu soruyu 1.Yoldan Çözmek neredeyse imkansız, aynı şekilde senin uğraştığın gibi Tüm durumların 1/6'sı istediğim durum ya da tüm durumların 1/16'sı istediğim durum sayısıdır diyemeyiz çünkü bunun da cevabını gene sen vermişsin aslında. Yukarda bahsettiğin 6 durumun ya da 16 durumun hepsinin gerçekleşme miktarlarının farklı olması.
Yani kısa yoldan gidip tüm durumların şu kadarı benim istediğim durumdur diyemiyorsun. Tek tek bulmalısın.

O yüzden dediğim gibi bu soru tipinde yukardaki yol tek çözüm yolu denebilir.

Ohh sonunda bitirdim. Gerçekten çok yorucu ve düşündürücü soruların vardı. Aslında soru da sormamışsın. Bütün soruların cevaplarını biliyordun ama neden böyle olduğunu merak ediyordun. Ve gerçekten güzel şeyler kafana takılmış. Dilim döndüğünce anlatmaya çalıştım. Umarım sonuna kadar okuyacak deliler için faydalı olmuştur