Çözüldü Mutlak Değerli Eşitsizlik - 2. Derece Denklem - Analitik Geometri - Programlama

Facebook "Lise Matematik Öğretmenleri Grubu"ndaki sorulardan biri:
|x - 2y| + |y + 3x| < 10 eşitsizliğini sağlayan x ve y tam sayıları için; kaç farklı (x, y) sıralı ikilisi vardır?

x, y ∈ Z ve x ≠ y
Mutlak Değer fonksiyonunun özelliği nedeniyle { (x - 2y)^2 }^0,5 + { (y + 3x)^2 }^0,5 < 10
(x - 2y)^2 + 2·{ (x - 2y)^2·(y + 3x)^2 }^0,5 + (y + 3x)^2 < 100
x^2 - 4xy + 4y^2 + 2(x - 2y)(y + 3x) + y^2 + 6xy + 9x^2 < 100
y^2 - 8x·y + 16x^2 - 100 < 0 eşitsizliğinden eşitliğe geçilip ikinci derece denklem çözülünce y = 4x ∓ 10....(I)
Problemdeki eşitsizlik terimlerinden x - 2y = 0 ⇒ y = x / 2....(II) ve y + 3x = 0 ⇒ y = -3x....(III)
(I) ve (II) doğruları kesiştirilince x = ∓20 / 7....(IV) ⇒ -2 ≤ x ≤ 2 ve y = ∓10 / 7....(V)
[ veya (I) eşitliğinden x = ∓5 / 2 ⇒ -2 ≤ x ≤ 2....(VI) ]
(I) ve (III) doğruları kesiştirilince x = ∓10 / 7....(VII) ve y = ∓30 / 7....(VIII)
(IV), (V), (VII), (VIII) koordinatlarına göre simetri nedeniyle;
A(-20 / 7, -10 / 7)
B(10 / 7, -30 / 7)
C(20 / 7, 10 / 7)
D(-10 / 7, 30 / 7)
noktalarıyla oluşan paralelkenar eşitsizliği sağlayan bölgedir.
[AB] kenarının denklemi [ y - (-10 / 7) ] / [ -10 / 7 - (-30 / 7) ] = [ x - (-20 / 7) ] / (-20 / 7 - 10 / 7) olup y eksenini kestiği nokta;
(y + 10 / 7) / (20 / 7) = (0 + 20 / 7) / (-30 / 7) ⇒ y = -10 / 3 ve E(0, -10 / 3)
yine simetriden dolayı [CD] kenarının y eksenini kestiği nokta da F(0, 10 / 3) olup,
-10 / 3 < y < 10 / 3 ⇒ -3 ≤ y ≤ 3....(IX)
(VI) ve (IX) eşitsizliklerini sağlayan x ve y tam sayıları (-2, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 2) hariç
(∓2, 0), (∓2, ∓1), (∓1, 0), (∓1, ∓2), (-1, 1), (0, ∓1), (0, ∓2), (0, ∓3), (1, -1), (∓1, 3) olmak üzere 22 tanedir

WolframAlpha Kontrolu:

https://i.ibb.co/MDhd79wm/esitsizlik-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=(ABS(x - 2*y) + ABS(y + 3*x)) < 10, x not equal y

Grafik:

https://i.ibb.co/20rwvHNN/esitsizlik.png

Bilgisayar programlamayla ilgilenen öğrenciler için Fortran çözümü:

https://i.ibb.co/7L6C6b3/esitsizlik-Fortran.png

Not: Gerçek hayatta böyle angarya problemler bilgisayara veya yapay zekâlara kaktırılır!