Çözüldü Ters Fonksiyon Türevi - Doğrunun Analitiği

University of Maryland - Baltimore County'den çözümlü bir problemin fen lisesi klasik sınavı için biraz zorlaştırılmış uyarlaması:

y = f(x) = (x + 1) / (5 - x) hiperbolünün tersinin apsisi 1 olan noktasındaki teğetin değme noktasının bu hiperbollerin simetri eksenine uzaklığının kaç birim olduğunu iki ayrı işlemle bulunuz.

5 - x = (x + 1) / f(x)
5 - 1 / f(x) = x·[ 1 + 1 / f(x) ]
[ 5·f(x) - 1 ] / [ f(x) + 1) ] = x
(5x - 1) / (x + 1) = f^(-1) (x)
[ 5·(x + 1) - 1·(5x - 1) ] / (x + 1)^2 = [ f^(-1) (x) ]'
6 / (x + 1)^2 = [ f^(-1) (x) ]'
6 / (1 + 1)^2 = [ f^(-1) (1) ]'
3 / 2 = Teğetin Eğimi
Teğetin değme noktasının ordinatı: (5·1 - 1) / (1 + 1) = f^(-1) (1) = 2
Teğetin Değme Noktası: A(1, 2)
Hiperbollerin simetri ekseni olan birinci açıortaya yani x - y = 0 doğrusuna A noktasının uzaklığı:
|1·1 + 2·(-1)| / [ 1^2 + (-1)^2 ]^0,5 = 1 / √2 birim,
İkinci çözüm: A noktasından geçen ve birinci açıortaya dik olan doğru y - 2 = -1·(x - 1) ⇒ y = -x + 3
y = -x + 3 ile y = x kesiştirilince -x + 3 = x ⇒ x = 3 / 2 = y yani A noktasından geçen ve simetri eksenini dik kesen doğrunun kesme noktası B(3 / 2, 3 / 2) ve |AB| = [ (3 / 2 - 1)^2 + (3 / 2 - 2)^2 ]^0,5 = (1 / 4 + 1 / 4)^0,5 = (1 / 2)^0,5 = 1 / √2 birim.

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/hiperb28.png

Sorunun Aslı ve Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/umbc10.png
https://userpages.umbc.edu/~tighe/math152/current_answers/quiz_1.PDF
(Soru 1)