Çözüldü Belirsiz İntegral - Rasyonel Kesirlere Ayırma - Belirsiz Katsayılar Kuralı

∫ { (x^2 + x + 1) / [ x(x^2 + 1) ] } dx = ?
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=312406463039702&set=gm.2808486399166707&type=3&theater&ifg=1

Hızlı Çözüm:
"Payda"yı oluşturan iki çarpanın toplamı "pay"da olduğundan doğrudan ∫ [ 1 / x + 1 / (x^2 + 1) ] dx şeklinde yazılarak iki terimin integrali alınır ve ln(x) + arctan(x) + c bulunur.

Rasyonel Kesirlere Ayırmayla Çözüm:
İntegrali aranan ifade A, B, C ∈ R olmak üzere (x^2 + x + 1) / [ x(x^2 + 1) ] ≡ A / x + (Bx + C) / (x^2 + 1) denkliğine göre ayrılan rasyonel iki çarpan haline getirilip sağ tarafta paydalar eşitlenirse; (x^2 + x + 1) / [ x(x^2 + 1) ] ≡ [ A(x^2) + A + B(x^2) + C·x ] / [ x(x^2 + 1) ]
x^2 + x + 1 ≡ (A + B)(x^2) + C·x + A denkliğinden Belirsiz Katsayılar Kuralı (Undetermined Coefficients Rule) ile;
A + B = 1, C = 1, A = 1 yazılıp B = 0 olduğu için integral ∫ [ 1 / x + 1 / (x^2 + 1) ] dx haline gelir ve doğrudan integre edilerek "Hızlı Çözüm"deki sonuç bulunur.

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate (x^2+x+1)dx/(x(x^2+1))