Çözüldü Diferansiyel Denklemde Euler Yöntemi ile Yaklaşık Sayısal Çözüm

University of Toronto Engineering Society'den çözümlü bir problemin final sınavı için biraz zorlaştırılmış uyarlaması:

Gün cinsinden zamana (t) bağlı dy / dt = t + y diferansiyel denklemiyle belirlenen bir y = f(t) fonksiyonuna göre sayısal değişimi gözlenen ve çok hızlı üreyen bir fare popülasyonunun incelenmeye başlandığı andaki sayısı 2 ise, dördüncü gündeki miktarının basit Euler yöntemiyle ve adım büyüklüğü de (step size) 1 alınarak bulunabilecek yaklaşık değerinin gerçekte oluşacak fare sayısından farkı en az kaçtır? (e^4 ≈ 54,6)

A) 109
B) 112
C) 115
D) 118
E) 121


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/euler10.png
https://exams.skule.ca/exams/MAT186H1_20219_631639174686F21mat186_Midterm_2_Solutions.pdf
(Sayfa 3, Soru 4)

dy / dt - y = t haline getirilerek sağ tarafsız duruma ait karakteristik denklem r - 1 = 0 ⇒ r = 1 ve homojen çözüm;
y1 = C·e^t....(I), sağ taraf birinci derece bir polinom olduğundan y2 = a·t + b....(II) ⇒ y2' = a....(III)
(II) ve (III) eşitlikleri denklemdeki yerlerine yazılırsa -a·t + a - b = t eşitliğinde Belirsiz Katsayılar Kuralı ile;
-a = 1 ve a - b = 0 denklemlerinden a = b = -1 bulunarak y2 = -t - 1....(IV)
(I) ve (IV) toplanarak tam genel çözüm y = f(t) = C·e^t - t - 1....(V) ve f(0) = 2 olduğundan 2 = C - 0 - 1 ⇒ C = 3....(VI)
(VI) değerine göre (V) ifadesinden özel çözümün denklemi y(t) = 3·e^t - t - 1 ve buna göre 4 gün sonra fare sayısı;
y(4) = 3·e^4 - 4 - 1 = 3·e^4 - 5 ve yaklaşık ≈ 3·54,6 - 5 ≈ 158,8 olup tam sayı olarak 158 alındığında minimum fark;
158 - 43 = 115.