Çözüldü Diferansiyel Denklemler (2 Soru)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/de10.png

Facebook gruplarında dolanırken gördüğüm iki soru için yol göstermiştim ama gâvurlar da bizimkilerin çoğu gibi kazma olduklarından en küçük bir karşılık vermeyi veya "anlamadım" demeyi bile düşünemiyorlar. Bari çözümleri buraya koyalım da belki ilgilenip yararlananlar olabilir.

y(y + 2x - 2)dx - 2(x + y)dy = 0
dy / dx = (y^2 + 2xy - 2y) / [ 2(x + y) ]....(I)
x değişkenine bağlı bir fonksiyon u = f(x) olmak üzere y = u·x ⇒ dy / dx = x·(du / dx) + u değişken dönüşümüyle denklemin yeni hali
x·(du / dx) + u = (u^2·x^2 + 2u·x^2 - 2u·x) / [ 2(x + u·x) ] olup düzenlenirse (basit ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev),
du / dx = (x - 2)(u^2 + 2u) / [ 2x(u + 1) ]
(u + 1)du / (u^2 + 2u) = (1 / 2 - 1 / x)dx eşitliğinde iki tarafın integrali alınarak,
(1 / 2)·ln(u^2 + 2u) = x / 2 - ln(x) + C1
ln(u^2 + 2u) = x - ln(x^2) + 2C1
ln(u^2·x^2 + 2u·x^2) = x + C
u^2·x^2 + 2u·x^2 = e^(x + C)
(y^2 / x^2)·x^2 + 2(y / x)·x^2 = e^(x + C)
y^2 + 2x·y - e^(x + C) = 0 sonucu aslında yeterlidir ama WolframAlpha da beğensin diye y değişkenine bağlı 2. derece denklemin çözümüyle devam edilerek y = -x ∓ [ x^2 + e^(x + C) ]^0,5.

WolframAlpha Kontrolu:

https://i.ibb.co/y4cF3nQ/DE1-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=y(y+2x-2)dx-2(x+y)dy=0
---
x·y·dx + (x^2 - 3y)·dy = 0

M(x, y) = xy ⇒ ∂M / ∂y = x
N(x, y) = x^2 - 3y ⇒ ∂N / ∂x = 2x
(∂N / ∂x - ∂M / ∂y) / M = (2x - x) / (xy) = 1 / y
Denklemi Tam Diferansiyel (Exact) yapacak olan integrasyon çarpanı µ olmak üzere ∂ln(µ) / ∂y = 1 / y ⇒ µ = y ile iki terim de çarpılırsa (x·y^2)dx + (x^2·y - 3y^2)dy = 0 denkleminde ∂M / ∂y = ∂N / ∂x = 2xy olduğundan denklem artık tam diferansiyeldir ve çözümü verecek olan u(x, y) fonksiyonu da a, b, c, d birer gerçel sayı olmak üzere,







u(x, y) = x^2·y^2 / 2 - a^2·y^2 / 2 + a^2·y^2 / 2 - y^3 - a^2·b^2 / 2 + b^3
u(x, y) = x^2·y^2 / 2 - y^3 - a^2·b^2 / 2 + b^3 ve d = -a^2·b^2 / 2 + b^3 gibi bir sabit olduğundan tam çözüm,
x^2·y^2 / 2 - y^3 = d
x^2·y^2 - 2y^3 = 2d ve c = 2d yazılarak,
x^2·y^2 - 2y^3 = c.

Doğruluk Kontrolu:
Her terimin diferansiyeli alınıp 2x·y^2·dx + 2x^2·y·dy - 6y^2·dy = 0
x·y^2·dx + (x^2·y - 3y^2)dy = 0
x·y·dx + (x^2 - 3y)·dy = 0 olan çözülecek ilk denklem bulunmuş olur.