Çözüldü Diferansiyel Denklemler (3 Soru)

xdy - (x^3)·(y^2)dy - ydx = 0

dx / dy - x / y = -y·(x^3) Bernoulli Diferansiyel Denklemi haline gelir.
[ x^(-3) ]·(dx / dy) - [ x^(-2) ] / y = -y
u = x^(-2) ⇒ du / dy = -2·[ x^(-3) ]·(dx / dy) ⇒ [ x^(-3) ]·(dx / dy) = (-1 / 2)·(du / dy)
(-1 / 2)·(du / dy) - u / y = y
du / dy + 2u / y = 2y şeklinde birinci mertebeden lineer diferansiyel denkleme indirgenerek y değişkenine bağlı birer fonksiyon k ve v olmak üzere u = k·v değişken dönüşümüyle;
du / dy = k·(dv / dy) + v·(dk / dy)
k·(dv / dy) + v·(dk / dy) + 2k·v / y = 2y
k·(dv / dy + 2v / y) + v·(dk / dy) = 2y
dv / dy + 2v / y = 0 olmasını sağlayan v fonksiyonu v(y) = C1 / (y^2) olup buna göre k·0 + [ C1 / (y^2) ]·(dk / dy) = 2y denkleminden;
k(y) = (y^4) / (2C1) + C2 olup u(y) = k(y)·v(y) = [ (y^4) / (2C1) + C2 ]·[ C1 / (y^2) ]
u = (1 / 2)·(y^2) + C3 / (y^2)
x^(-2) = (1 / 2)·(y^2) + C3 / (y^2)
y^4 - 2·[ (y / x)^2 ] + C = 0 fonksiyonu bulunur ve istenirse WolframAlpha (WA)'nın kendi algoritması nedeniyle verdiği gibi y değişkenine bağlı 4. derece denklemin kökleri de y = f(x) şeklinde ayrıca gösterilebilir.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=xdy-ydx=x³y²dy
---
(y + 1)dx + (2 - x)dy = 0 en basit tipte değişkenlerine ayrılabilir (separable) diferansiyel denklem.

dx / (2 - x) + dy / (y + 1)
-ln(2 - x) + ln(y + 1) = ln(C1)
ln[ (y + 1) / (2 - x) ] = ln(C1)
(y + 1) / (2 - x) = C1
y = -C1·x + 2C1 - 1
y = C1·(x - 2) - 1 olarak WA'nın verdiği sonuç bulunur ama aslında biraz daha devam edilerek;
y = C1·x - 2C1 - 1
y = C1·x + C2 gibi daha sade bir doğru denklemi halinde de gösterilebilir.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(y+1)dx+(2-x)dy=0
---
y(2x + y^2)dx + x(y^2 - x)dy = 0

M = y(2x + y^2) ⇒ ∂M / ∂y = 2x + 3y^2
N = x(y^2 - x) ⇒ ∂N / ∂x = y^2 - 2x
∂N / ∂x - ∂M / ∂y = -4x - 2y^2
(∂N / ∂x - ∂M / ∂y) / M = -2(2x + y^2) / [ y(2x + y^2) ] = -2 / y
Denklemin "Tam Diferansiyel" yapılabilmesi için gereken integrasyon çarpanı µ(y) olmak üzere;
∂ln[ µ(y) ] / ∂y = -2 / y
ln[ µ(y) ] = -2ln(y)
µ(y) = 1 / y^2 bulunarak denklemin her terimi 1 / y^2 ile çarpılırsa;
(2x / y + y)dx + (x - x^2 / y^2)dy = 0
M = 2x / y + y ⇒ ∂M / ∂y = -2x / y^2 + 1
N = x - x^2 / y^2 ⇒ ∂N / ∂x = 1 - 2x / y^2
∂M / ∂y = ∂N / ∂x olduğundan denklem artık Tam Diferansiyel hale gelerek çözüm;
a, b, c, k ∈ R

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/tamdif14.png

Bu haliyle sonuç aslında yeterlidir ama WA'nın da keyfi olsun diye biraz daha düzenlenebilir:
x^2 / y + y·x = c eşitliğinden y değişkenine bağlı ikinci derece denklem;
x·(y^2) - c·y + x^2 = 0 olup kökleri;
y = [ c ∓ √(c^2 - 4x^3) ] / (2x)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y(2x+y²)dx+x(y²-x)dy=0

Rica ederim, iyi çalışmalar.
Not: Herhangi bir öğretmenlik niteliğim yok, amatörce yardımcı olmaya çalışıyorum.