Çözüldü Diferansiyel Denklemler (3 Soru)

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Mert07 tarafından 24 Nisan 2021 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Mert07

    Mert07 Yeni Üye

    Mesajlar:
    2
    Beğenileri:
    0
    Cinsiyet:
    Bay
    Merhabalar,bu soruları çözemedim yardımcı olabilir misiniz?

    1) xdy-ydx=x³y²dy dif. Denk. Çözümü nedir?
    2) (y+1)dx+(2-x)dy=0 tam mıdır ? Tam hale nasıl getirebilirim
    3) y(2x+y²)dx+x(y²-x)dy=0 dif. denk. Çözümü nedir?

    Şimdiden teşekür ederim.

  2. Benzer Konular: Diferansiyel Denklemler
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümünde Euler Yöntemi - Programlama 6 Mart 2026
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Diferansiyel Denklemlerde Başlangıç Şartları-Laplace Dönüşümü-Noktanın Analitiği ve Türev 7 Eylül 2024
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları 1. Mertebe Lineer Diferansiyel Denklemlerde İntegrasyon Çarpanıyla ve Laplace Dönüşümüyle Çözüm 4 Ağustos 2024
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler Ders Notları - İstanbul Sabahattin Zaim Üniversitesi 29 Haziran 2023
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler 6 Haziran 2023

  3. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    11.055
    Beğenileri:
    652
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    xdy - (x^3)·(y^2)dy - ydx = 0

    dx / dy - x / y = -y·(x^3) Bernoulli Diferansiyel Denklemi haline gelir.
    [ x^(-3) ]·(dx / dy) - [ x^(-2) ] / y = -y
    u = x^(-2) ⇒ du / dy = -2·[ x^(-3) ]·(dx / dy) ⇒ [ x^(-3) ]·(dx / dy) = (-1 / 2)·(du / dy)
    (-1 / 2)·(du / dy) - u / y = y
    du / dy + 2u / y = 2y şeklinde birinci mertebeden lineer diferansiyel denkleme indirgenerek y değişkenine bağlı birer fonksiyon k ve v olmak üzere u = k·v değişken dönüşümüyle;
    du / dy = k·(dv / dy) + v·(dk / dy)
    k·(dv / dy) + v·(dk / dy) + 2k·v / y = 2y
    k·(dv / dy + 2v / y) + v·(dk / dy) = 2y
    dv / dy + 2v / y = 0 olmasını sağlayan v fonksiyonu v(y) = C1 / (y^2) olup buna göre k·0 + [ C1 / (y^2) ]·(dk / dy) = 2y denkleminden;
    k(y) = (y^4) / (2C1) + C2 olup u(y) = k(y)·v(y) = [ (y^4) / (2C1) + C2 ]·[ C1 / (y^2) ]
    u = (1 / 2)·(y^2) + C3 / (y^2)
    x^(-2) = (1 / 2)·(y^2) + C3 / (y^2)
    y^4 - 2·[ (y / x)^2 ] + C = 0 fonksiyonu bulunur ve istenirse WolframAlpha (WA)'nın kendi algoritması nedeniyle verdiği gibi y değişkenine bağlı 4. derece denklemin kökleri de y = f(x) şeklinde ayrıca gösterilebilir.

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=xdy-ydx=x³y²dy
    ---
    (y + 1)dx + (2 - x)dy = 0 en basit tipte değişkenlerine ayrılabilir (separable) diferansiyel denklem.

    dx / (2 - x) + dy / (y + 1)
    -ln(2 - x) + ln(y + 1) = ln(C1)
    ln[ (y + 1) / (2 - x) ] = ln(C1)
    (y + 1) / (2 - x) = C1
    y = -C1·x + 2C1 - 1
    y = C1·(x - 2) - 1 olarak WA'nın verdiği sonuç bulunur ama aslında biraz daha devam edilerek;
    y = C1·x - 2C1 - 1
    y = C1·x + C2 gibi daha sade bir doğru denklemi halinde de gösterilebilir.

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=(y+1)dx+(2-x)dy=0
    ---
    y(2x + y^2)dx + x(y^2 - x)dy = 0

    M = y(2x + y^2) ⇒ ∂M / ∂y = 2x + 3y^2
    N = x(y^2 - x) ⇒ ∂N / ∂x = y^2 - 2x
    ∂N / ∂x - ∂M / ∂y = -4x - 2y^2
    (∂N / ∂x - ∂M / ∂y) / M = -2(2x + y^2) / [ y(2x + y^2) ] = -2 / y
    Denklemin "Tam Diferansiyel" yapılabilmesi için gereken integrasyon çarpanı µ(y) olmak üzere;
    ∂ln[ µ(y) ] / ∂y = -2 / y
    ln[ µ(y) ] = -2ln(y)
    µ(y) = 1 / y^2 bulunarak denklemin her terimi 1 / y^2 ile çarpılırsa;
    (2x / y + y)dx + (x - x^2 / y^2)dy = 0
    M = 2x / y + y ⇒ ∂M / ∂y = -2x / y^2 + 1
    N = x - x^2 / y^2 ⇒ ∂N / ∂x = 1 - 2x / y^2
    ∂M / ∂y = ∂N / ∂x olduğundan denklem artık Tam Diferansiyel hale gelerek çözüm;
    a, b, c, k ∈ R
    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/tamdif14.png

    Bu haliyle sonuç aslında yeterlidir ama WA'nın da keyfi olsun diye biraz daha düzenlenebilir:
    x^2 / y + y·x = c eşitliğinden y değişkenine bağlı ikinci derece denklem;
    x·(y^2) - c·y + x^2 = 0 olup kökleri;
    y = [ c ∓ √(c^2 - 4x^3) ] / (2x)

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=y(2x+y²)dx+x(y²-x)dy=0

    Rica ederim, iyi çalışmalar.
    Not: Herhangi bir öğretmenlik niteliğim yok, amatörce yardımcı olmaya çalışıyorum.
    Son düzenleme: 25 Nisan 2021
  4. Mert07

    Mert07 Yeni Üye

    Mesajlar:
    2
    Beğenileri:
    0
    Cinsiyet:
    Bay
    Teşekkürler hocam 2 tanesini zor bela yapmıştım 3. de oldu tam oldu sağolun :)

Sayfayı Paylaş