Çözüldü Diferansiyel Denklemler (5 Soru)

Soru - 1
y' = (2x + 2y + 1) / (x + y - 1) diferansiyel denkleminin çözümü:

x + y = u ⇒ dx + dy = du ⇒ 1 + dy / dx = du / dx ⇒ dy / dx = y' = du / dx - 1
du / dx - 1 = (2u + 1) / (u - 1)
du / dx = 3u / (u - 1)
(u - 1)du / u = 3dx
du - du / u = 3dx
u - ln(u) = 3x + c
y - ln(x + y) = 2x + c

Doğruluk Kontrolu:
y' - (1 + y') / (x + y) = 2
y'·x + y'·y - 1 - y' = 2(x + y)
y'(x + y - 1) = (2x + 2y)
y' = (2x + 2y) / (x + y - 1)

Not: WolframAlpha (WA) algoritmik fantezisi gereğince sonucu Lambert W Fonksiyonuyla veriyor.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y' = (2x + 2y + 1) / (x + y - 1)
---
Soru - 2
y' + 2xy = 1 + x^2 + y^2, y(1) = 3 / 2 başlangıç değerli diferansiyel denklemin çözümü:

y' = 1 + (x - y)^2
x - y = u ⇒ dx - dy = du ⇒ 1 - dy / dx = du / dx ⇒ dy / dx = y' = 1 - du / dx
1 - du / dx = 1 + u^2
du / dx = -u^2
-du / (u^2) = dx
1 / u = x + c
1 / (x - y) = x + c
1 = (x - y)(x + c)
1 / (x + c) = x - y
y(x) = x - [ 1 / (x + c) ]
y(1) = 3 / 2 = 1 - [ 1 / (1 + c) ]
3 / 2 = (1 + c - 1) / (1 + c)
3 + 3c = 2c
c = -3
y(x) = x - [ 1 / (x - 3) ]
y(x) = (x^2 - 3x - 1) / (x - 3)

WA Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y' + 2xy = 1 + x^2 + y^2, y(1) = 3 / 2
---
Soru - 3
c bir parametre (sabit bir gerçel sayı) olmak üzere x^2 - 2(y^2) = 2cy eğri ailesinin dik (orthogonal) yörüngelerinin bulunması.

2x - 4y·(y') = 2c·(y')
x - 2y·(y') = c·(y')
[ x - 2y·(y') ] / (y') = c
x^2 - 2(y^2) = 2·{ [ x - 2y·(y') ] / (y') }·y
Dik yörüngeler için y' = -1 / (y') yazılıp;
x^2 - 2(y^2) = 2·{ [ x - 2y / (y') ]·(y') }·y
[ 1 / (2y) ]·(x^2) - y = x·(y') - 2y
[ 1 / (2y) ]·(x^2) + y = x·(y')
y' = x / (2y) + y / x

Notlar:
1. WA henüz bu konuyu bilmiyor. Sitedeki "feedback" kısmından geliştirme ekibine bildirdim, bakalım ne zaman öğrenir, göreceğiz (belki de ben göremem).
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2 - 2(y^2) = 10*y orthogonal trajectories
(c yerine 5 gibi bir sayı verdim uyansın diye ama yine anlamadı.)
2. Benzer bir örnek:
https://www.math24.net/orthogonal-trajectories-page-2/#example3
---
Soru - 4
[ (x^2)y + y^3 ]dx - [ x^3 + x(y^2) ]dy = 0 diferansiyel denkleminin (GEREKSİZ şekilde) integral çarpanı bulunarak [ yani "Tam (Exact) Diferansiyel" ] duruma getirilerek) çözümü:
(soruyu hazırlayan kişi neden böyle saçma bir istekte bulunuyor hiç anlamadım!)

M = (x^2)y + y^3 ⇒ ∂M / ∂y = x^2 + 3y^2
N = -x^3 - x(y^2) ⇒ ∂N / ∂x = -3x^2 - y^2
∂N / ∂x - ∂M / ∂y = -4(x^2 + y^2)
(∂N / ∂x - ∂M / ∂y) / M = -4(x^2 + y^2) / [ y(x^2 + y^2) ] = -4 / y
Aranan integrasyon çarpanı µ(y) olmak üzere;
∂ln(µ) / ∂y = -4 / y ⇒ ln(µ) = -4ln(y) ⇒ µ(y) = 1 / y^4 olup denklemin tüm terimleri bununla çarpılarak;
[ (x^2) / (y^3) + (1 / y) ]dx - [ (x^3) / (y^4) + x / (y^2) ]dy = 0
[ (x^2 + y^2) / (y^3) ]dx - { [ x^3 + x(y^2) ]dy / (y^4) = 0
{ (x^2)·[ y^(-3) ] + y^(-1) }dx - { [ (x^3)·[ y^(-4) ] + x·[ y^(-2) ] }dy = 0....(I)
M = (x^2)·[ y^(-3) ] + y^(-1) ⇒ ∂M / ∂y = -3(x^2)·[ y^(-4) ] - y^(-2)
N = -(x^3)·[ y^(-4) ] - x·[ y^(-2) ] ⇒ ∂N / ∂x = -3(x^2)·[ y^(-4) ] - y^(-2)
∂M / ∂y = ∂N / ∂x olduğundan (I) denklemi artık tam diferansiyel olup yine düzenlenip sadeleştirilirse;
dy / dx = (x^2 / y^3 + 1 / y) / (x^3 / y^4 + x / y^2) = y / x
dy / y = dx / x
ln(y) = ln(C·x)
y = C·x olarak gerçel sayılı çözümü bulunur ama bu kadar işleme hiç girmeden en başta denklemin kendisi düzenlenseydi;
y(x^2 + y^2)dx - x(x^2 + y^2)dy = 0
ydx = xdy
dy / y = dx / x
ln(y) = ln(C·x)
y = C·x çözümü yine bulunabilirdi.

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=[ (x^2)y + y^3 ]dx - [ x^3 + x(y^2) ]dy = 0
---
Soru - 5
x·(y') + 2y = f(x)
f(x) = 4(x^2), 1 ≤ x < 2
f(x) = 0, 2 ≤ x
başlangıç değer probleminin sürekli çözümünün bulunması:

1 ≤ x < 2 aralığında x·(y') + 2y = 4x^2;
y'+ (2 / x)·y = 4x birinci dereceden lineer diferansiyel denklemin çözümünde x değişkenine bağlı birer fonksiyon u ve v olmak üzere y = u·v değişken dönüşümüyle;
y' = dy / dx = u·(dv / dx) + v·(du / dx)
u·(dv / dx) + v·(du / dx) + 2u·v / x = 4x
u·(dv / dx + 2v / x) + v·(du / dx) = 4x denkleminde dv / dx + 2v / x = 0 olmasını sağlayan v(x) = C1 / x^2 fonksiyonuna göre denklem;
u·0 + (C1 / x^2)·(du / dx) = 4x
du = 4(x^3)dx / C1
u = x^4 / C1 + C2
y(x) = u·v = (x^4 / C1 + C2)·(C1 / x^2) = f(x) = x^2 + (C / x^2)
y(2) - y(1) = (alt sınır x1 = 1, üst sınır x2 = 2), ∫ 4(x^2)dx =
(alt sınır x1 = 1, üst sınır x2 = 2), |4x^3 / 3| = 32 / 3 - 4 / 3 = 28 / 3

x ≥ 2 için f(x) = 0 = x·y' + 2y = 0 ⇒ y' + 2y / x = 0
dy / y + 2dx / x = 0
lny + 2ln(x) = ln(C3)
y·(x^2) = C3
y = f(x) = C3 / (x^2)
x ≥ 2 ⇒ f(x) = 0
f(2) = 0 = C3 / 4 ⇒ C3 = 0
x ≥ 2 ⇒ y = f(x) = 0 / x^2 = 0

Sürekli çözüm 28 / 3 değeridir.

WA Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x·(y') + 2y = piecewise[{{4x, 1 ≤ x < 2},{0, 2 < x}}]
---
Soruların Yedeği:
https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/difden22.png
https://www.facebook.com/photo?fbid=1779023325598608&set=gm.2118547491616116
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)