Çözüldü Diferansiyel Denklemler (5 Soru)

https://i.ibb.co/T0S1q24/Dif-Denklem.png
https://www.facebook.com/photo/?fbid=429820214845284&set=gm.3737369412996581

4xydx + (x^2 + 1)dy = 0 diferansiyel denkleminin çözümü:

4xdx / (x^1 + 1) + dy / y = 0
2·ln(x^2 + 1) + ln(y) = ln(c)
ln{ y·[ (x^2 + 1)^2 ] } = ln(c)
y·[ (x^2 + 1)^2 ] = c
y = c / [ (x^2 + 1)^2 ]

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=4xydx + (x^2 + 1)dy = 0
---
(2xy + 3y^2)dx - (2xy + x^2)dy = 0 diferansiyel denkleminin çözümü:

(2xy + 3y^2) / (2xy + x^2) = dy / dx
y = u·x ⇒ dy / dx = x·(du / dx) + u·(dx / dx) = x·(du / dx) + u
[ 2u·(x^2) + 3(u^2)·(x^2) ] / [ 2u·(x^2) + x^2 ] = x·(du / dx) + u
(2u + 3u^2) / (2u + 1) - u = x·(du / dx)
(2u + 3u^2 - 2u^2 - u) / (2u + 1) = x·(du / dx)
(u^2 + u) / (2u + 1) = x·(du / dx)
dx / x = (2u + 1)du / (u^2 + u)
ln(x) + ln(c) = ln(u^2 + u)
ln(c·x) = ln(u^2 + u)
c·x = u^2 + u
c·x = (y^2) / (x^2) + y / x sonucu aslında yeterlidir ama y = f(x) olarak bulunması istenirse (WolframAlpha, sonuçları genelde böyle gösterir);
c·x = (y^2 + x·y) / (x^2)
c·(x^3) = y^2 + x·y
1·y^2 + x·y - c·(x^3) = 0
y = { -x ∓ [ (-x)^2 - 4·1·(-c·x^3) ]^0,5 } / 2
y = { -x ∓ [ x^2 + 4c·(x^3) ]^0,5 } / 2
y = [ -x ∓ x·(1 + 4c·x)^0,5 ] / 2
y = x·[ ∓(1 + 4c·x)^0,5 - 1 ] / 2

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2xy + 3y^2)dx - (2xy + x^2)dy = 0
---
(x^2 + 1)(dy / dx) + 4xy = x, y(2) = 1 başlangıç değer probleminin çözümü:

dy / dx + [ 4x / (x^2 + 1) ]·y = x / (x^2 + 1)
y = u·v ⇒ dy / dx = u·(dv / dx) + v·(du / dx)
u·(dv / dx) + v·(du / dx) + [ 4x / (x^2 + 1) ]·u·v = x / (x^2 + 1)
u·{ dv / dx + [ 4x / (x^2 + 1) ]·v } + v·(du / dx) = x / (x^2 + 1)
dv / dx + [ 4x / (x^2 + 1) ]·v = 0
dv / v + [ 4x / (x^2 + 1) ]·dx = 0
ln(v) + 2·ln(x^2 + 1) = ln(c1)
ln{ v·[ (x^2 + 1)^2 ] } = ln(c1)
v = c1 / [ (x^2 + 1)^2 ]
u·0 + [ c1 / [ (x^2 + 1)^2 ]·(du / dx) = x / (x^2 + 1)
[ c1 / (x^2 + 1) ]·(du / dx) = x
c1·du = x·(x^2 + 1)·dx
c1·du = (x^3 + x)·dx
c1·u = x^4 / 4 + x^2 / 2 + c2
u = x^4 / (4·c1) + x^2 / (2·c1) + c2 / c1
y = u·v = [ x^4 / (4·c1) + x^2 / (2·c1) + c2 / c1 ]·{ c1 / [ (x^2 + 1)^2 ] }
y(x) = x^4 / [ 4·(x^2 + 1)^2 ] + x^2 / [ 2·(x^2 + 1)^2 ] + C / [ (x^2 + 1)^2 ]
y(2) = 16 / 100 + 4 / 50 + C / 25 = 1 ⇒ C = 19
y(x) = x^4 / [ 4·(x^2 + 1)^2 ] + x^2 / [ 2·(x^2 + 1)^2 ] + 19 / [ (x^2 + 1)^2 ]
y(x) = (x^4 + 2x^2 + 76) / [ 4·(x^2 + 1)^2 ]

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x^2 + 1)(dy / dx) + 4xy = x, y(2) = 1
---
x·(dy / dx) - y = -y^2 diferansiyel denkleminin çözümü:

dy / dx - y / x = -y^2 / x
[ y^(-2) ]·(dy / dx) - y^(-1) / x = -1 / x
u = y^(-1) ⇒ -du / dx = [ y^(-2) ]·(dy / dx)
-du / dx - u / x = -1 / x
du / dx + u / x = 1 / x
du / dx = (1 - u) / x
du / (1 - u) = dx / x
-ln(1 - u) = ln(x) + ln(c1)
ln[ c1·x·(1 - u) ] = ln(1)
c1·x·(1 - u) = 1
1 - u = c2 / x
1 - c2 / x = u
(x - c2) / x = y^(-1)
x / (x - c2) = y
x / (x + c) = y

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x·(dy / dx) - y = -y^2
---
Bir özel çözümü y1 = -x^2 olan dy / dx = (y^2 - x^2·y - 2x) / (1 - x^3) Riccati diferansiyel denkleminin çözümü:

y = y1 + 1 / u = -x^2 + 1 / u ⇒ dy / dx = -2x - u' / (u^2)
-2x - u' / (u^2) = [ (x^4 - 2x^2 / u + 1 / u^2) - (x^2)(-x^2 + 1 / u) - 2x ] / (1 - x^3)
-2x - u' / (u^2) = (x^4 - 2x^2 / u + 1 / u^2 + x^4 - x^2 / u + 2x^3) / (1 - x^3)
(1 - x^3)(-2x - u' / u^2) = 2x^4 - 3x^2 / u + 1 / u^2 - 2x
-2x - u' / u^2 + 2x^4 + (x^3)·(u' / u^2) = 2x^4 - 3x^2 / u + 1 / u^2 - 2x
-u' / u^2 + (x^3)·(u' / u^2) = -3x^2 / u + 1 / u^2
-u' + (x^3)·(u') = -3u·(x^2) + 1
(u')·(x^3 - 1) = -3u·(x^2) + 1
u' + [ (3x^2) / (x^3 - 1) ]·u = 1 / (x^3 - 1) birinci dereceden lineer diferansiyel denklemine dönüşerek u = k·v dönüşümüyle (veya Lagrange Sabitin Değişimi Yöntemi ile) çözülürse (ilgilenen öğrencilere ödev, forumda birçok örnek var);
u = (c + x) / (x^3 - 1)
1 / (x^2 + y) = (x + c) / (x^3 - 1)
y = (x^3 - 1) / (x + c) - x^2
y = -[ (c·x^2 + 1) / (x + c) ] genel çözümü bulunur.