Çözüldü Direnç ve Kondansatörlü Devrelerde Yüklenme Analizi - İntegral

Soru aslında akademik seviyeli olmasına rağmen bu siteyi takip edebilen lise öğrencilerinin anlayabileceği şekilde çözüldü.

Middle Tennessee State University'den çözümlü bir problemin, şekil çizimi öğrencinin anlama gücüne bırakılarak biraz zorlaştırılmış test uyarlaması:

Paralel bağlı 100 ve 150 ohm'luk iki dirence akım geçişini engelleyen açık bir anahtar üzerinden seri bağlı 1 mF'lık kapasitörle 20 Voltluk bir doğru akım kaynağından oluşan devrede anahtar kapatılıp kronometreye basılarak 60 milisaniye süreyle sığaç yüklendikten sonra anahtar tekrar açıldığında kondansatördeki yük kaç Coulomb'dur?

A) (e - 1) / (50e)
B) (e + 1) / (70e)
C) (e - 1) / (100e)
D) (e + 1) / 150
E) (e - 1) / 200

Gerilim Kaynağının Elektromotor Kuvveti: Є (V, volt),
Gerilim Kaynağından Geçen Akım Şiddeti (I: Amper)
Eşdeğer Direnci: R (Ohm: Ω)
Kondansatör Kapasitesi: C (Farad: F)
Kondansatörün Maksimum Yükü: Q (Coulomb: C) olan devreye t zamanına bağlı Kirchhoff Gerilimler Yasası uygulanırsa;
I = dQ(t) / dt....(I) ve ε - I·R - (Q / C) = 0....(II) eşitliklerinden,
dQ(t) / dt + Q(t) / (R·C) = ε / R denklemi değişkenlerine ayrılabilir tipte olup düzenlenirse,
dQ(t) / [ ε·C - Q(t) ] = dt / (R·C) ve B ∈ R olmak üzere integrasyonla,
ln[ ε·C - Q(t) ] = -t / (R·C) + B
ε·C - Q(t) = e^{ [ -t / (R·C) ] + B }
ε·C - Q(t) = [ e^(B) ]·{ e^[ -t / (R·C) ] }
Q0 - Q(t) = Q0·{ e^[ -t / (R·C) ] }
Q(t) = Q0·{ 1 - e^[ -t / (R·C) ] }....(III)
Q0 = [ 10^(-3) Farad ]·20 volt = 0,02 = 1 / 50 Coulomb
t = 60 milisaniye = 0,06 = 60·10^(-3) Saniye
(III) eşitliğinde t = 0,06 = 10^(-3) saniye, R = 60 ohm, C = 0,001 = 10^(-3) farad değerleri kullanılıp,
Q(0,06) = (1 / 50)( 1 - e^{ -60·10^(-3) / [ 60·10^(-3) ] } )
Q(0,06) = (1 / 50)·[ 1 - e^(-1) ]
Q(0,06) = (e - 1) / (50·e) Coulomb.

Not: (III) formülünü ezbere bilenler integral işlemlerini yapmadan direkt sonuca ulaşabilirler.

Sorunun Aslı ve (III) Formülünün Bilinmesi Gerektiği Varsayımıyla Yapılan Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/mtsu11.png
https://www.mtsu.edu/faculty/wroberts/teaching/docs/STest1Solution2120.pdf
(Sayfa 3, Soru 4)

Not: Sorunun aslına ait çözümdeki hata düzeltildi çünkü Farad·Volt = Coulomb olarak yük birimidir.
https://www.wolframalpha.com/input?i=880 microfarad * 20 volts

Kaynak: http://physics.bu.edu/~duffy/semester2/c11_RC.html