Çözüldü Dörtgende Açı - Trigonometri

Oxford University'den bir problem:


https://i.ibb.co/Bj9CRch/Oxford.png
https://www.maths.ox.ac.uk/outreach/oxford-online-maths-club/episode-11

[ZX] ∩ [WY] = { T }
∡TZY = 90° - 50° = 40°
∡WXT = 90° - 40° = 50°
∡ZWT = 90° - 30° = 60°
∡TYX = θ
∡TXY = 90° - θ
Sinüs Teoremi ile;
|ZY| / sin(50° + θ) = |XY| / sin(40°)....(I)
|ZY| / sin(100°) = |WX| / sin(30°)....(II)
(I) ve (II) taraf tarafa bölünerek sadeleştirilirse sin(100°) / sin(50° + θ) = ( |XY| / |WX| )·[ sin(30°) / sin(40°) ]....(III)
|WX| / sin(θ) = |XY| / sin(40°) ⇒ |XY| / |WX| = sin(40°) / sin(θ)....(IV)
(IV) eşitliği (III)'teki yerine yazılıp sadeleştirilerek düzenlenirse (basit ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
2·sin(θ)·cos(10°) = sin(50° + θ) eşitliğinde sağ taraf açıldıktan sonra her terim cos(θ) ile bölünüp düzenlenirse (yine basit ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev),
tan(θ) = cos(40°) / [ 2·cos(10°) - sin(40°) ] = cos(30° + 10°) / [ 2·cos(10°) - sin(30° + 10°) ] eşitliğinde sağ taraf açılıp sadeleştirilerek,
tan(θ) = [ (√3)·cos(10°) - sin(10°) ] / [ 3·cos(10°) - (√3)·sin(10°) ]
tan(θ) = (1 / √3)·{ [ (√3)·cos(10°) - sin(10°) ] / [ (√3)·cos(10°) - sin(10°) ] } = 1 / √3 = tan(30°)
θ = 30°
∡ZXY = ∡TXY = 90° - θ = 90° - 30° = 60°.

Çözüm - 2:
|TX| = x, |TW| = y, |TZ| = z, |TY| = t
(x / y)·(y / z)·(z / t)·(t / x) = 1
tan(40°)·tan(30°)·tan(50°)·tan(90° - θ) = 1
cot(θ) = cot(40°)·cot(30°)·cot(50°)
cot(θ) = cot(40°)·cot(30°)·tan(40°)
cot(θ) = cot(30°)
θ = 30°
∡ZXY = ∡TXY = 90° - θ = 90° - 30° = 60°.