Çözüldü Düzgün Beşgenlerde Çevre Farkı - Kareköklü Sayılar - Trigonometri

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/begen10.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=857765097912439&set=gm.2838154429590061&type=3&theater&ifg=1

Düzgün beşgende bir iç açı: (5 - 2)·180° / 5 = 108°
∡ABE = ∡AEB = (180° - 108°) / 2 = 36°
∡BED = 108° - 36° = 72°
[CD[ ∩ [EF] = {G}
∡DEG = 108° - 72° = 36°
∡EDG = 180° - 108° = 72°
∆DEG için ∡EGD = 180° - 36° - 72° = 72°
∡DGF = 180° - 72° = 108°
HNGF dörtgeninde ∡HNG = 360° - 90° - 108° - 108° = 54° = ∡BNC
∡BCN = 108°
∆BCN üçgeninde ∡CBN = 180° - 108° - 54° = 18°
∆BCN üçgeninde Sinüs Teoremi ile a / sin(54°) = |CN| / sin(18°) ⇒ |CN| = a·sin(18°) / sin(54°)....(I)
|AB| = |AE| = a
|EG| = |DE| = a
∆ABE için Kosinüs Teoremi ile |BE| = [ a^2 + a^2 - 2(a^2)·cos(108°) ]^0,5 = [ 2a^2 + (2a^2)·cos(72°) ]^0,5....(II)
cos(72°) = 2{ [ cos(36°) ]^2 - 1 } özdeşliği (II) eşitliğinde kullanılıp sadeleştirilirse |BE| = 2a·cos(36°)....(III)
|CN| = a - 6 eşitliğinde (I) ifadesi kullanılıp düzenlenirse a = 6·sin(54°) / [ sin(54°) - sin(18°) ]....(IV) kesrinde payda;
2{ sin[ (54° - 18°) / 2 ] }·{cos[ (54° + 18°) / 2 ] } = 2[ sin(18°) ][ cos(36°) ] olup bu değer (IV) eşitliğindeki yerine konulup sin(54°) = cos(36°) eşitliği de kullanılırsa;
a = 3 / sin(18°)....(V) olur.
Düzgün beşgenlerin çevreleri farkı: 5[ 2a·cos(36°) ] - 5a = 5a[ 2cos(36°) - 1 ]....(VI) olup cos(36°) = 2{ [ cos(18°) ]^2 - 1 } eşitliği kullanılırsa;
Düzgün beşgenlerin çevreleri farkı: 5a{ [ 2cos(18°) ]^2 - 3 }....(VII)
(I) ifadesi (VII)'deki yerine yazılıp 5·[ 3 / sin(18°) ]{ 4 - [ 2sin(18°) ]^2 - 3 } = 15 / sin(18°) - 60·sin(18°)....(VIII)
sin(18°) = [ (√5) - 1 ] / 4 değeri (VII)'deki yerine konulup birinci terimdeki payda rasyonel yapılırsa;
60[ (√5) + 1 ] / 4 - 15√5 + 15 =
15 + 15 = 30 cm bulunur.