Çözüldü Eğik Atış - Trigonometrik Türev - Doğrusal Yakınsama (YKS 2022'de yok)

Stanford University'den çözümlü bir sorunun zorlaştırılmış test uyarlaması:

Çekim ivmesinin 10 m / s^2 olduğu dünya benzeri bir gezegenin düz bir bölgesine gönderilmiş araştırma aracından yatayla 30° açıda ve saniyede 2 metrelik bir hızla yukarı atılan sondaj cisminin atılış açısının ölçümünde 18° / π kadar bir hata olduğu anlaşıldığına göre, cismin ulaşabileceği maksimum uzaklığın Dünya'daki uzay merkezinde hesaplanmasında oluşacak yaklaşık hatanın maksimum değeri nedir?

A) 1 metre
B) 0,5 metre
C) 25 cm
D) 8 cm
E) 4 cm

Hareket süresi: t (saniye)
Cismin yatayda alacağı ve zamana bağlı yol: x (metre)
Cismin düşey olarak çıkacağı ve zamana bağlı yükseklik: y (metre)
Yatayla Atış Açısı: θ (radyan)
İlk hız: v0 (metre / saniye)
x(t) = v0·t·cos(θ) ⇒ t = x / [ v0·cos(θ) ]....(I)
y(t) = v0·t·sin(θ) - (1 / 2)·g·(t^2)....(II)
(I) eşitliği (II)'deki yerine yazılıp y(x) = v0·{ x / [ v0·cos(θ) ] }·sin(θ) - (1 / 2)·g·{ x / [ v0·cos(θ) ] }^2
y(x) = x·tan(θ) - g·(x^2) / { 2·[ v0·cos(θ) ]^2 }
y'(x) = tan(θ) - g·x / { [ v0·cos(θ) ]^2 } = 0 ⇒ x = { [ v0·cos(θ) ]^2 }·[ tan(θ) ] / g
x = [ (v0)^2 ]·[ sin(2θ) ] / g
dx / dθ = x '(θ) = 2·[ (v0)^2 ]·[ cos(2θ) ] / g....(III)
30° = π / 6 radyan....(IV)
(IV) değeri (III) eşitliğinde kullanılıp; x '(π / 6) = 2·(2^2)·[ cos(2π / 6) ] / 10 = 0,4 metre....(V)
18° / π = (18°/ π)·(π / 180°) = 0,1 radyan....(VI)
Yatay uzaklığın hesabındaki maksimum hata (V) ve (VI) çarpılarak 0,4·0,1 = 0,04 metre = 4 cm.


https://i.ibb.co/VQHwkYB/Stanford.png
http://stanford.edu/class/math41/oldexams/11finalsol.pdf
(Sayfa 6, Soru 6.b) (Maalesef Stanford Ü. daha sonra dışarıdan erişimlere kapattı.)

Not: (III) eşitliğini ezbere bilen öğrenciler bir test sınavında çözüme oradan başlayarak zaman kazanabilirler.