Çözüldü Enerji Dönüşümü - Parabol ve Üç Bilinmeyenli Denklem - Türev - Üstel Sayılar

Dartmouth College'dan çözümlü bir örneğin biraz zorlaştırılmış AYT uyarlaması:


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/dartmo14.png

Yer çekimi ivmesinin g (m / s^2) olduğu Himalayalar'da yer seviyesinden 2 km yukarıda başlamak üzere özel yapılmış raylar üzerindeki en yüksek noktaya çıkan bir seyir treni raylardaki magnetik güçle taşınarak sürtünmesiz ve parabolik olan kısmının tepe noktasında durduktan sonra frenlerini açarak inişe geçiyorsa hattın sonundaki hızı saatte kaç km olur?

A) 3600 / √g
B) 3600·√g
C) 1080·√(g / 10)
D) 360·√g
E) 1080 / g

Rayların, denklemi y = f(x) = ax^2 + bx + c olan parabolik bölümü için;
6 = 16a + 4b + c
6 = 36a + 6b + c
2 = 64a + 8b + c
eşitlikleri yazılıp denklem sistemi çözülürse a = -1 / 2, b = 5, c = -6 katsayılarına göre;
y = f(x) = -x^2 / 2 + 5x - 6 ve tepe noktasının apsisi; f '(x) = -x + 5 = 0 ⇒ x = 5 km
f(5) = -25 / 2 + 25 - 6 = 13 / 2 km
Trenin kütlesi m (kg) ve son hızı v (km / saat) ise tepe noktasındaki enerjisinin rayların sonundaki enerjisine eşitliğiyle;
m·g·(13 / 2) = (1 / 2)·m·(v^2) + m·g·2
13·g / 2 - 2·g = (v^2) / 2
9·g = v^2
9 km·g·[ 10^(-3) ] km / 3600^(-2) (saat^2) = v^2
[ 9·g·(3600^2) / 10^3 ] (km / saat)^2 = v^2
v = (3·3600 / 10)·√(g / 10) km / saat
v = 1080·√(g / 10) km / saat.

Sorunun Aslının Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/dartmo15.png
https://math.dartmouth.edu/~m1f19/exams/midterm1_solutions.pdf
(Sayfa 8 - 9, Soru 7)