Has Olmayan (Improper) İntegral (Görünen Seçenekler Yanlış)

Soruyu Facebook grubuna gönderenin yaşadığı yere göre muhtemelen Gaziantep Üniversitesi'ndeki sınav sorularından:


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/improp16.png
https://www.facebook.com/photo/?fbid=10229315630494377&set=g.1585256358376235
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için sorunun aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

lim (t → 0) (alt sınır x1 = t, üst sınır x2 = 1), ∫ ln(x) dx / √x integralindeki integrand belirsiz haline göre,
x = u^2 ⇒ dx = 2udu, ln(x) = 2·ln(u) değişken dönüşümünden sonra
∫ ln(x) dx / √x = ∫ 2·ln(u) 2udu / u = 4·∫ ln(u) du ve bu kez kısmi integrasyonla (basit ara işlem ilgilenen ööğerncilere ödev),
4·∫ ln(u) du = 4·{ u·[ ln(u) - 1 ] } + C1 ve tekrar x değişkenine dönülüp,
4·{ (√x)·[ (1 / 2)·ln(x) - 1 ] } + C1 =
2·{ (√x)·[ ln(x) - 2 ] } + C sonucundan belirli integrale geçilirse;
lim (t → 0) (alt sınır x1 = t, üst sınır x2 = 1), | 2·{ (√x)·[ ln(x) - 2 ] } | =
2·{ (√1)·[ ln(1) - 2 ] } - lim (t → 0) 2·{ (√t)·[ ln(t) - 2 ] } =
-4 - lim (t → 0) 2·{ (√t)·[ ln(t) - 2 ] } ifadesinde ikinci terimdeki limitte 0·∞ belirsizliği nedeniyle düzenlenp,
-4 - 2·lim (t → 0) { [ ln(t) - 2 ] / (1 / √t) } =
-4 - 2·lim (t → 0) { [ ln(t) - 2 ] / [ t^(-1 / 2) ] ve yine ikinci terimdeki limit ∞ / ∞ belirsizliğine dönüştüğünden L'Hospital Kuralı uygulanırsa,
-4 - 2·lim (t → 0) (1 / t) / [ (-1 / 2)·(t)^(-3 / 2) ] =
-4 - 4·lim (t → 0) { [ t^(3 / 2) ] / t } eşitliğindeki ikinci terimin limiti bu kez 0 / 0 belirsizliğine indirgenerek son defa L'Hospital Kuralı uygulanıp;
-4 - 4·lim (t → 0) [ (2 / 3)·t^(1 / 2) / 1 ] =
-4 - 4·(0 / 1) =
-4.

WolframAlpha Doğrulaması:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/improp14.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate log(x)/sqrt(x) from x=0..1

Grafik Programla Doğrulama:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/improp15.png
Programı kullanmak isteyenler https://www.padowan.dk/ adresinden alabilirler.