Çözüldü Kapalı (Implicit) Türev - Doğrunun Analitiği - İntegral (YKS'de Yok)

Northwestern University'den çözümlü bir problemin fen lisesi için zorlaştırılmış test uyarlaması:

x^2 - 2xy + y^2 = x + 2y + 3 Eğrisinin eğimi -1 / 2 olan teğetinin eksenlerle arasındaki alanın, eğrinin Kartezyen Düzlemin II. Bölgesinde eksenlerle arasındaki alana oranını veren integrasyon işlemi aşağıdakilerden hangisidir?












https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/northw12.png
https://sites.math.northwestern.edu/scg479/courses/exams/220-midterm1-fa18-solns.pdf
[Sayfa 8 (pdf dosyada 9), Soru 7]

Teğet Denklemi y + 1 = (-1 / 2)(x + 1) ⇒ y = h(x) = -(x + 3) / 2 ve eksenleri kestiği noktalar (-3, 0) ve (0, -3 / 2),
Eğrinin fonksiyonu y asli değişken olan ikinci derece denklem haline getirilirse y^2 - 2(x + 1)·y + x^2 - x - 3 = 0 olarak çözüldüğünde,
y = x + 1 ∓ (3x + 4)^0,5
Eğrinin y = f(x) = x + 1 + (3x + 4)^0,5 olan üst parçası f(x) = 0 denklemiyle ilgilenen öğrencilere ödev olmak üzere çözülürse;
x = (1 ∓ √13) / 2 ve II. Bölgede x eksenini kestiği nokta x = (1 - √13) / 2)
Bu bilgilerle doğru seçeneğin D olduğu kolayca görülür.

Grafik: (Alan1 / Alan2)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/elips710.png

Not: Elipsin iki parçasının yani f(x) ve g(x) fonksiyonlarının D kesişme noktasının bulunması için f(x) fonksiyonunun minimumu hesaplandığında x = -4 / 3 için -1 / 3 olur ve buna ait türev işlemi de yine ilgilenen ve zamanı olan öğrencilere ödev.

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/minimi10.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=minimize x+1+sqrt(3x+4)