Çözüldü Kare İçinde Çemberler Arasındaki Alan - İntegral Uygulaması

https://i.ibb.co/9kKXHpk3/kare-cember.png
https://www.facebook.com/photo.php?...6&set=g.1415609548744544&type=1&theater&ifg=1

Analitik Geometri ve İntegral Çözümü:
Karenin;
Alt sol köşesi A(0, 0),
A'nın sağındaki köşesi B(a, 0),
B'in üzerindeki köşesi C(a, a),
C'nin solundaki (A'nın üzerindeki) köşesi D(0, a)
olmak üzere kare kartezyen sisteme yerleştirilsin.
A ve C noktalarından geçen dörttebir çemberlerden alttaki y1 = f(x), üstteki y2 = g(x),
B ve D noktalarından geçen dörttebir çemberlerden alttaki y3 = h(x), üstteki y4 = k(x) olsun.
x = a / 2 doğrusu simetri nedeniyle y3 ve y4 çemberlerini aynı apsisli (x = a / 2) noktalarda,
y = a / 2 doğrusu simetri nedeniyle y1 ve y2 çemberlerini, y3 ve y4 çemberlerini aynı ordinatlı (y = a / 2) noktada keser ve bu noktanın apsisi de şöyle bulunabilir:
y1 çemberinin denklemi (x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2....(I) olup y = a / 2 yazılırsa x = a ∓ a(√3) / 2 ve orijine daha yakın olan (yani y1 ve y2 çemberlerinin kesiştiği noktalardan ilki) nokta için x = (a / 2)(2 - √3) bulunur.

Aranan alan; y2 - y1 = g(x) - f(x) fonksiyonunun x1 = (a / 2)(2 - √3) ve x2 = a / 2 arasındaki integralin 2 katıdır çünkü (a /2, a / 2) noktası taralı alanın simetri merkezidir...(II)
(I) denkleminden y1 = f(x) = a - √[ a^2 - (x - a)^2 ]....(III) olur (çünkü x = a için y1 = 0)
Merkezi B(a, 0) ve yarıçapı a olan y2 çemberinin denklemi (x - a)^2 + y^2 = a^2 ⇒ y2 = g(x) = √[ a^2 - (x - a)^2 ]....(IV)

O halde sırasıyla (IV) ve (III) eşitlikleri (II) tanımına göre yerlerine yazılırsa;
Alan = 2∫ √ ( [ a^2 - (x - a)^2 ] - { a - √[ a^2 - (x - a)^2 ] } ) dx, alt sınır x1 = (a / 2)(2 - √3), üst sınır x2 = a / 2 ve düzenlenerek iki alan farkı halinde yazılırsa;

Alan1 = 4∫ √ ( [ a^2 - (x - a)^2 ] dx, alt sınır x1 = (a / 2)(2 - √3), üst sınır x2 = a / 2....(V)

Alan2 = 2a∫dx, alt sınır x1 = (a / 2)(2 - √3), üst sınır x2 = a / 2
Alan2 = 2a(x2 - x1) = 2a[ a / 2 - (a / 2)(2 - √3) ]
Alan2 = a^2 - 2a^2 + (a^2)√3
Alan2 = (a^2)(√3 - 1)....(VI)

(V) integralinin çözümü için x - a = a·sinθ değişken dönüşümü yapılırsa;
dx = acosθdθ
θ1 = arcsin{ [ (a / 2)(2 - √3) - a ] / a } = arcsin[ -(√3) / 2 ] = -π / 3
θ1 = arcsin[ (a / 2 - a) / a ] = arcsin(-1 / 2) = -π / 6
(V) integrali bu durumda;
Alan1 = 4(a^2)∫ [ (cosθ)^2 ]dθ, alt sınır θ1 = -π / 3, üst sınır θ2 = -π / 6
(cosθ)^2 = (1 + cos2θ) / 2 olduğundan,
Alan1 = 2(a^2)∫(1 + cos2θ)dθ, alt sınır θ1 = -π / 3, üst sınır θ2 = -π / 6
Alan1 = 2(a^2)|θ + cos2θ|, alt sınır θ1 = -π / 3, üst sınır θ2 = -π / 6
Alan1 = 2(a^2){ -π / 6 + (1 / 2)sin(-π / 3) - [ -π / 3 + (1 / 2)sin(-2π / 3) ] }
Alan1 = 2(a^2)[ -π / 6 - (√3) / 4 + π / 3 + (√3) / 4 ]
Alan1 = (a^2)π / 3....(VII)

Alan = Alan1 - Alan2 ifadesinde (VII) ve (VI) değerleri yerlerine konursa;
Alan = (a^2)π / 3 - (a^2)(√3 - 1)
Alan = (a^2)(π / 3 + 1 - √3)

Notlar:
1. Yukarıdaki sonuç, "ÖSS - ÖYS Geometri", Yöntem Yayınları, 1989, sayfa 135 - 136, problem 11'in sentetik çözümünde bulunan neticeyle
a = 4 birim için aynı.
2. WolframAlpha integralin sonucunu göstermek için bile para istiyor.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate sqrt(( a^2 - (x - a)^2 )) dx from x=(a/2)(2-sqrt(3)) to a/2