Çözüldü Kare ve Üçgende Uzunluk-Trigonometri-Kareköklü Sayılar-2. Derece Denklemler

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/kare210.png
https://scontent-mxp1-1.xx.fbcdn.ne...=4a8b9af7bd2282dd1d73af8469684883&oe=5CDADF99
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=192989954992628&set=gm.2073629689396184&type=3&theater&ifg=1
(Daha sonra bir sentetik çözüm de yapılmış, yukarıdaki Facebook adresinden görülebilir.)

Basit bir sentetik çözüm de herhalde vardır. İlgilenenler olursa şimdiden çok teşekkürler.
∡DAF = θ
∡GAC = 45° - θ
DFA dik üçgeninde |AD| = 12 / cosθ = |AB| = |BC| ⇒ |AC| = (12√2) / cosθ
ABE dik üçgeninde ∡EAB = (45° - θ) + 45° = 90°- θ ve sin(90°- θ) = (x + 12 / cosθ) / (12 + 15) = (x + 12 / cosθ) / 27 ve düzenlenerek;
x = { 27·[ (cosθ)^2 ] - 12 } / cosθ....(I)
∆ACE için Sinüs Teoremi ile [ (12√2) / cosθ ] / sinθ = 27 / sin(90° + 45°) = 27√2 ve sadeleştirmeyle;
(sinθ)·(cosθ) = 4 / 9 ⇒ sin2θ = 8 / 9 ⇒ cos2θ = (√17) / 9 = 2[ (cosθ)^2 ] - 1 ⇒ cosθ = [ (9 + √17) / 18 ]^0,5....(II)
(II) değeri (I) eşitliğindeki yerine konarak;
x = { [ 27(9 + √17) / 18 ] - 12 } / { [ (9 + √17) / 18 ]^0,5 }
x = [ 9(1 + √17) / √2 ]·[ 1 / √(9 + √17) ]....(III)
9 + √17 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 eşitliğinden a^2 + b^2 = 9....(IV) ve 2ab = √17 ⇒ b = (√17) / 2a....(V)
(V) ifadesi (IV) denklemindeki yerine yazılıp düzenlenerek oluşan 4a^4 - 36a^2 + 17 = 0 denklemi çözüldüğünde;
a^2 = 17 / 2 ⇒ a = (√17) / √2....(VI) ⇒ b = 1 / √2....(VII)
(VI) ve (VII) değerleriyle (III) eşitliğinde sağ taraftaki kesrin paydası karekök dışına (√17 + 1) / √2 olarak çıkartılıp sadeleştirme yapılırsa;
x = [ 9(1 + √17) / √2 ]·{ 1 / [ (√17 + 1) / √2 ] }
x = 9 bulunur.