Çözüldü Kareköklü Sayılar - İkinci Dereceye İndirgenebilen Denklem - Trigonometri

Başka bir sorunun çözümünde ortaya çıkan problemin fen lisesi için test uyarlaması:

0 < x < π / 2 ve cos(x) = (1 / 5)[ (25 + √96) / 2 ]^0,5 ise cos(x) - sin(x) = ?

A) (√2) / 5
B) 3 / 5
C) 1 / √2
D) (√3) / 2
E) 1 / 3

25 + √96 = 25 + 4·√6 = (a + b·√6)^2 = a^2 + b^2 + 2·a·b·√6
a^2 + b^2 = 25....(I) ve 4·√6 = 2·a·b·√6 ⇒ b = 2 / a....(II)
(II) eşitliği (I) denklemindeki yerine yazılıp a^2 + 4 / a^2 = 25 ⇒ a^4 - 25·a^2 + 4 = 0 denkleminden
a^2 = [ 25 ∓ (625 - 96)^0,5 ] = (25 ∓ 23) / 2 ve küçük kök alınınca a = 1 ⇒ b = 2 olup 25 + √96 = (2·√6 + 1)^2....(III)
(III) değeri problemdeki cos(x) eşitliğinde kullanılarak cos(x) = (2·√6 + 1) / (5·√2)....(IV)
(IV) eşitliğine göre eşleniği alındığında sin(x) = (2·√6 - 1) / (5·√2)
cos(x) - sin(x) = (2·√6 + 1) / (5·√2) - (2·√6 - 1) / (5·√2) = 2 / (5·√2) = (√2) / 5 ≈ 0,2828....

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/trigo174.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=cos(x) = (1 / 5)[ (25 + √96) / 2 ]^0.5, cos(x) - sin(x) = ?