Çözüldü Kombinasyon - Toplam Sembolü (3 Soru)

Soru - 3
Sıfır olmalı çünkü;

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/binomi12.png

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/binomi13.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum ((-1)^k)*c(n,k), k=0 to n

Not: (-1)^k çarpanının olmaması durumunda ise sonuç 2^n

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/binomi14.png
http://www.math.ucsd.edu/~gptesler/184a/slides/184a_ch4slides_17-handout.pdf
(sayfa 7)

Soru - 1

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/soru110.png

Kaynak:
https://math.stackexchange.com/ques...nom-m-frac-12m-frac-122m-bino/1991085#1991085
https://math.stackexchange.com/questions/2107685/calculation-of-c-1-2-n

Soru - 2
Şöyle bir çözüm düşünebildim:
Binom Açılımı'na göre;
(a + x)^n = (a^n)·(x^0) + (n / 1!)·[ a^(n - 1) ]·(x^1) + [ n(n - 1) / 2! ]·[ a^(n - 2) ]·(x^2) + [ n(n - 1)(n - 2 / 3! ]·[ a^(n - 3) ]·(x^3) + ...
olduğundan r = 1 + i gibi bir karmaşık sayı alınarak sol taraf (1 + x)^[-(r + 1) ] yazılıp ilk altı terim için açılırsa;
1 + (2 + i)·(x^1) + [ (5 / 2) + (5i) / 2 ]·(x^2) + [ (5 / 2 + (25i) / 6 ]·(x^3) + [ 25 / 12 + (35i) / 6 ]·(x^4) +
[ (4 / 3) + (89i) / 12 ]·(x^5) + ...(I)
Sağ taraftaki kombinasyon da Gamma Fonksiyonu sayesinde (teorik tarafını ödevde açıklamak gerekmez sanırım);
C(1 + i + 0, 0) = 1
C(1 + i + 1, 1) = 2 + i
C(1 + i + 2, 2) = 5 / 2 + 5i / 2
C(1 + i + 3, 3) = 5 / 2 + 25i / 6
C(1 + i + 4, 4) = 25 / 12 + 35i / 6
C(1 + i + 5, 5) = 4 / 3 + 89i / 12
... olduğundan toplam sembolü açılırsa;
1 + (2 + i)·(x^1) + [ (5 / 2) + (5i) / 2 ]·(x^2) + [ (5 / 2 + (25i) / 6 ]·(x^3) + [ 25 / 12 + (35i) / 6 ]·(x^4) + [ (4 / 3) + (89i) / 12 ]·(x^5) + ...(II)
(I) ve (II) toplamlarının eşitliği görülmektedir.

Rica ederim, kolay gelsin, iyi çalışmalar.