Çözüldü Limitte Cebirsel Özdeşlik ve Trigonometrik Dönüşüm Kullanımı

Bir kitaptaki çözümsüz ama yanıtlı bir sorunun fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:

lim (x → 0) [ (x + 1)^0,5 - 1 ] / [ (1 + x)^(1 / 3) - 1 ] limitini trigonometrik dönüşümle ve cebirsel yoldan olmak üzere iki farklı şekilde çözünüz.

Trigonometrik Çözüm:
x + 1 = [ sec(θ) ]^EKOK(2, 3) = [ sec(θ) ]^6, x → 0 ⇒ y → 0
lim (y → 0) { [ sec(θ) ]^3 - 1 } / { [ sec(θ) ]^2 - 1 } =
lim (y → 0) [ sec(θ) - 1 ]{ [ sec(θ) ]^2 + sec(θ) + 1 } / { [ sec(θ) - 1 ][ sec(θ) + 1 ] } =
lim (y → 0) { [ sec(θ) ]^2 + sec(θ) + 1 } / [ sec(θ) + 1 ] = (1^2 + 1 + 1) / (1 + 1) = 3 / 2.

Cebirsel Özdeşlikle Çözüm:
a - b = [ a^(1 / 3) - b^(1 /3) ][ a^(2 / 3) + (a·b)^(1 / 3) + b^(2 / 3) ] olduğundan;
lim (x→0) [(x+1)^0,5-1][(x+1)^0,5+1][(1+x)^(2/3)+(1+x)^(1/3)+1]/{[(1+x)^(1/3)-1][(1+x)^(2/3)+(1+x)^(1/3)+1][(x+1)^0,5+1]}=
lim (x → 0) (x + 1 - 1 )[ (1 + x)^(2 / 3) + (1 + x)^(1 / 3) + 1 ] / { (1 + x - 1)[ (x + 1)^0,5 + 1 ] } =
lim (x → 0) [ (1 + x)^(2 / 3) + (1 + x)^(1 / 3) + 1 ] / [ (x + 1)^0,5 + 1 ] = (1 + 1 + 1) / (1 + 1) = 3 / 2.

Not: Bir test sınavında L'Hospital Kuralı uygulanmalıdır.

Kaynak: "Modern Matematik Başarı Testleri", Başarı Yayınları, Ocak 1976, Sayfa 137, Soru 4.