Çözüldü Mutlak Değer Fonksiyonu - Soldan ve Sağdan Trigonometrik Limit

Facebook "THE CALCULUS GROUP"ta (https://www.facebook.com/groups/1728193711057804/) çözüm bekleyen zavallı bir soru:

https://i.ibb.co/93bpPwZ8/limit.png
https://www.facebook.com/photo/?fbid=2413357962447908&set=g.1728193711057804

Çözüm - 1: (Trigonometrik Dönüşümle)
Soldan Limit:
lim [ x → 0^(-) ] x / { 1 - 1 + 2·[ sin(x / 2) ]^2 }^0,5 =
(1 / √2)·lim [ x → 0^(-) ] x / |sin(x / 2)| =
(2 / √2)·lim (x → 0) (x / 2) / [ -sin(x / 2) ] =
(√2)·(-1) =
-√2.

Sağdan Limit:
lim [ x → 0^(+) ] x / { 1 - 1 + 2·[ sin(x / 2) ]^2 }^0,5 =
(1 / √2)·lim [ x → 0^(+) ] x / |sin(x / 2)| =
(2 / √2)·lim (x → 0) (x / 2) / [ +sin(x / 2) ] =
(√2)·(1) =
√2.

Soldan ve sağdan limitler farklı (-√2 ≠ √2) olduğundan x → 0 için limit yok.

Çözüm - 2: (Maclaurin Serisine Açılarak)
cos(x) = 1 - x^2 / 2 + x^4 / 24 - ...
-cos(x) = -1 + x^2 / 2 - x^4 / 24 + ...
1 - cos(x) = 1 - 1 + x^2 / 2 - x^4 / 24 + ... = x^2 / 2 - x^4 / 24 + ...
[ 1 - cos(x) ]^0,5 = |x|·(1 / 2 - x^2 / 24 + ...)^0,5

Soldan Limit:
lim [ x → 0^(-) ] x / [ -x·(1 / 2 - x^2 / 24 + ...)^0,5 ] =
lim [ x → 0^(-) ] -1 / [ (1 / 2 - x^2 / 24 + ...)^0,5 ] =
-1 / (1 / 2 - 0 + 0 - 0 + ...)^0,5 =
-1 / (1 / √2) =
-√2.

Sağdan Limit:
lim [ x → 0^(+) ] x / [ +x·(1 / 2 - x^2 / 24 + ...)^0,5 ] =
lim [ x → 0^(+) ] 1 / [ (1 / 2 - x^2 / 24 + ...)^0,5 ] =
1 / (1 / 2 - 0 + 0 - 0 + ...)^0,5 =
1 / (1 / √2) =
√2.

Soldan ve sağdan limitler farklı (-√2 ≠ √2) olduğundan x → 0 için limit yok.

WolframAlpha Kontrolu:

https://i.ibb.co/NgbTHftc/Wolfram-Alpha.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=limit x / sqrt(1-cos(x)) as x goes to 0