Çözüldü Optimizasyon - Lagrange Çarpanları (Multipliers) - Kısmi Türev - Üç Bilinmeyenli Lineer Denklemler

Boston University'den çözümlü bir problemin fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:

Bir dikdörtgenler prizmasının birer gerçel sayı olan x, y, z boyutları arasında x + 2y + z = 12 birim bağıntısı varsa maksimum hacminin kaç birim^3 olduğunu hem Lagrange Çarpanları ile hem de klasik kısmi türev işlemleriyle bulunuz.

Not: Lagrange Çarpanları Metodunun öğretilmediği bir fen lisesi olmaz olsun ama nasıl uygulandığını anlayamayan olursa lütfen burada sorsun.


https://i.ibb.co/C5rTy2rF/Boston.png
http://math.bu.edu/people/jsweinst/Teaching/MA225Fall17/FinalPracticeVersionSolutions.pdf
(Sayfa 2, Soru 3)

Çözüm - 2:
z = 12 - x - 2y....(I)
f(x, y) = x·y·(12 - x - 2y) = 12·x·y - x^2·y - 2·x·y^2
∂f / ∂x = 12·y - 2·x·y - 2·y^2 = 0 ⇒ x + y = 6....(II)
∂f / ∂y = 12·x - x^2 - 4·x·y = 0 ⇒ x + 4y = 12....(III)
(II) ve (III) denklemleri taraf tarafa çıkarılınca -3y = -6 ⇒ y = 2 birim....(IV)
(IV) değeri (II) veya (III) eşitliklerinden birindeki yerine konulup x = 4 birim....(V)
(IV) ve (V) değerleri (I) denkleminde kullanılarak z = 12 - 4 - 2·2 = 12 - 8 = 4 birim....(VI)
(V), (IV), (VI) değerleri çarpılınca maksimum prizma hacmi 4·2·4 = 32 birim^3.