Çözüldü Parametrik Fonksiyonlarda Türev - İlişkisel Oranlar (Related Rates)

Harvard University'den bir problemin fen lisesi için biraz zorlaştırılmış klasik sınav uyarlaması:

Başlangıç noktasına göre bir hareketlinin yatay ve düşey uzaklık değerleriyle belirlenen konumuna ait x ve y fonksiyonları saniye cinsinden zamana bağlı değişimleri olan farklı birer eğriyi gösterip x + x^2 + 6x^3 + y + y^2 + 3y^3 = 13 denklemiyle tanımlı olduğuna göre harekete başlamadan önceki uzaklık ve yükseklik koordinatları birbirine eşit ve 1 birim, yatay uzaklığın saniyelik artış hızının başlangıç değeri 5 birim ise yüksekliğinin değişim hızının başlangıç değeri saniyede kaç birimdir?

Zaman değişkeni: t (saniye) alınarak,
x(t) + [ x(t) ]^2 + 6·[ x(t) ]^3 + y(t) + [ y(t) ]^2 + 3·[ y(t) ]^3 = 13
x '(t) + 2·x(t)·x '(t) + 18·{ [ x(t) ]^2 }·x '(t) + y '(t) + 2·y(t)·y '(t) + 9·[ y(t) ]^2·y '(t) = 0
x '(0) + 2·x(0)·x '(0) + 18·{ [ x(0) ]^2 }·x '(0) + y '(0) + 2·y(0)·y '(0) + 9·[ y(0) ]^2·y '(0) = 0
5 + 2·1·5 + 18·1^2·5 + y '(0) + 2·1·y '(0) + 9·1^2·y '(0) = 0
5 + 10 + 90 + 12·y '(0) = 0
12·y '(0) = -105
y '(0) = -105 / 12 = -35 / 4 (birim / saniye).

Sorunun Beş Paralık Aslı:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/harvar18.png
https://people.math.harvard.edu/~knill/teaching/math1a2024/final/E3-sol.pdf
(Sayfa 11, Soru 5.a)