Çözüldü Statik - Üç Kuvvetin Dengesi - Üçgenlerde Benzerlik - Trigonometri

University of Pittsburgh'dan çözümlü bir sorunun biraz zorlaştırılmış AYT uyarlaması:

Yer çekimi ivmesinin 10 m / s^2 olduğu bir yerdeki evde, Fizik kitabında okuduğu bir deneyi yapmak isteyen öğrenci odasının tavanına birbirinden 65 cm uzaklıkta iki kanca çakıp kopma gerilmesi 24 newton olan bir ipin uçlarını bu kancalara bağlayarak ipin üzerindeki bir noktaya da en çok kaç kilogram kütleli bir cisim asabileceğini bulmak istiyor. Kitaptaki deney açıklamasında cisim asıldıktan sonra ipin oluşturacağı üçgenin "Pisagor Teoremi"ni sağlaması ve cismin ipe asıldığı noktanın da kancalara uzaklıkları oranının 12 / 5 olması şartını dikkate alan bu öğrencinin deneyde kullanabileceği cismin maksimum teorik kütlesi kaç kg olabilir?
A) 2,2
B) 2,3
C) 2,5
D) 2,6
E) 2,8

Kancalar A ve B noktalarında, cisim de ipin üzerindeki C noktasında asılsın.
|AC| / |BC| = 12 / 5 ⇒ |AC| = 12·|BC| / 5
"Pisagor Teoremi"ne uygun ABC dik üçgeninde |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 olacağından;
65^2 = 144·|BC|^2 / 25 + |BC|^2 ⇒ |BC| = 25 cm
|AC| = 12·25 / 5 = 60 cm
C noktasından tavana zıt yönlerde çizilen [CF[ ve [CG[ ışınlarına göre ∡ACF = ∡BAC = θ ve ∡ABC = ∡BCG = 90° - θ
ACB dik üçgeninde cos(θ) = 60 / 65 = 12 / 13....(I) ⇒ sin(θ) = 5 / 13....(II)
[AC] ve [BC] iplerindeki en büyük gerilmeler sırasıyla T1 ve T2 ise C noktasındaki kuvvet dengesi, yatay kuvvet bileşenlerine göre;
T1·cos(θ) = T2·cos(90° - θ)
T1·cos(θ) = T2·sin(θ) denkleminde (I) ve (II) değerleri kullanılıp T1 = (5 / 12)·T2 ve T2 ≤ 24 newton olursa T1 ≤ 10 newton bulunarak, asılabilecek cismin maksimum kütlesi (m), C noktasındaki kuvvet dengesinin düşey bileşenlerine göre;
m·10 ≤ T1·sin(θ) + T2·sin(90° - θ)....(III)
m ≤ [ T1·sin(θ) + T2·cos(θ) ] / 10
m ≤ [ 10·(5 / 13) + 24·(12 / 13) ] / 10
m ≤ (50 + 24·12) / 130
m ≤ 2,6 kg.

Sorunun Aslı ve Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/pittsb12.png


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/pittsb13.png

http://www.math.pitt.edu/~sparling/23021/23021quiz1s/node4.html

Konuya Yeni Başlamış Öğrencilere Notlar:
1. Yukarıdaki orijinal çözümle ilgilenenlerin anlayamadıkları bir şey olursa sormaları rica olunur.
2. (III) eşitliğinin sol tarafında yer çekimi kütlesi 9,81 m / s^2 alınırsa m ≤ 2,65 kg bulunur.