Çözüldü Tam Diferansiyel Yapılabilen Denklemler

Bağımsız değişkenin değiştirilip x yerine y yapılarak birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem haline getirildikten sonra integrasyon çarpanıyla çözülmesi önerilen bir denklem (University of Bristol):

dy / dx = y / (y^2 + x)
https://people.maths.bris.ac.uk/~maajh/ODEs/sheet8.pdf (Sayfa 1, Soru 2)
https://people.maths.bris.ac.uk/~maajh/ODEs/solution8.pdf (Cevaplar)

Not: İntegrasyon çarpanıyla çözümü bilmeyenler x = u·v dönüşümüyle kolayca yapabilirler, sitede birçok benzer örnek var, yine de sorun çıkarsa lütfen haber verin.

Tam Diferansiyel Yapılarak Çözüm:
ydx - (y^2 + x)dy = 0
M = y ⇒ ∂M / ∂y = 1
N = -(y^2 + x) ⇒ ∂N / ∂x = -1
∂M / ∂y ≠ ∂N / ∂x olduğundan (∂N / ∂x - ∂M / ∂y) / M = -2 / y
µ integrasyon çarpanının bulunması için ∂ln(µ) / ∂y = -2 / y ⇒ µ = 1 / y^2 terimi denklemin her terimiyle çarpılarak,
dx / y - (1 + x / y^2)dy = 0 denkleminde ∂M / ∂y = ∂N / ∂x = -1 / y^2 olduğundan denklem artık tam diferansiyel olup, a, b, c, k ∈ R alınarak genel çözümün u(x,y) = c şeklinde olmasını sağlamak üzere,







u(x, y) = x / y - a / y + [ -y + a / y - (-b + a / b) ] = k
x / y - y = k - b + a / b
x / y - y = c
x - y^2 = c·y
x = y^2 + c·y
veya WolframAlpha'nın da keyfi yerine gelsin diye y = f(x) çözümü y = [ -c ∓ (c^2 + 4x)^0,5 ] / 2.
https://www.wolframalpha.com/input?i=ydx - (y^2 + x)dy = 0