Çözüldü Tam Diferansiyel Yapılabilen Denklemler

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Honore tarafından 19 Nisan 2023 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    11.055
    Beğenileri:
    652
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Bağımsız değişkenin değiştirilip x yerine y yapılarak birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem haline getirildikten sonra integrasyon çarpanıyla çözülmesi önerilen bir denklem (University of Bristol):

    dy / dx = y / (y^2 + x)
    https://people.maths.bris.ac.uk/~maajh/ODEs/sheet8.pdf (Sayfa 1, Soru 2)
    https://people.maths.bris.ac.uk/~maajh/ODEs/solution8.pdf (Cevaplar)

    Not: İntegrasyon çarpanıyla çözümü bilmeyenler x = u·v dönüşümüyle kolayca yapabilirler, sitede birçok benzer örnek var, yine de sorun çıkarsa lütfen haber verin.

    Tam Diferansiyel Yapılarak Çözüm:
    ydx - (y^2 + x)dy = 0
    M = y ⇒ ∂M / ∂y = 1
    N = -(y^2 + x) ⇒ ∂N / ∂x = -1
    ∂M / ∂y ≠ ∂N / ∂x olduğundan (∂N / ∂x - ∂M / ∂y) / M = -2 / y
    µ integrasyon çarpanının bulunması için ∂ln(µ) / ∂y = -2 / y ⇒ µ = 1 / y^2 terimi denklemin her terimiyle çarpılarak,
    dx / y - (1 + x / y^2)dy = 0 denkleminde ∂M / ∂y = ∂N / ∂x = -1 / y^2 olduğundan denklem artık tam diferansiyel olup, a, b, c, k ∈ R alınarak genel çözümün u(x,y) = c şeklinde olmasını sağlamak üzere,







    u(x, y) = x / y - a / y + [ -y + a / y - (-b + a / b) ] = k
    x / y - y = k - b + a / b
    x / y - y = c
    x - y^2 = c·y
    x = y^2 + c·y
    veya WolframAlpha'nın da keyfi yerine gelsin diye y = f(x) çözümü y = [ -c ∓ (c^2 + 4x)^0,5 ] / 2.
    https://www.wolframalpha.com/input?i=ydx - (y^2 + x)dy = 0

  2. Benzer Konular: Diferansiyel Yapılabilen
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Homojen Yapılabilen Diferansiyel Denklem 28 Ocak 2021
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Tam Diferansiyel Yapılabilen Denklemlerde İntegrasyon Çarpanı - Kısmi Türev ve İntegrasyon 27 Ocak 2021
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Değişkenlerine Ayrılabilir Yapılabilen, Tam Diferansiyel Tip, Bernoulli Dif. Denklemi (3 Soru) 23 Aralık 2020
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Tam Diferansiyel Yapılabilen Diferansiyel Denklemler (2 Soru) 20 Aralık 2016
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklem 11 Mart 2026

Sayfayı Paylaş