Çözüldü Ters Trigonometrik Fonksiyon Türevi - Doğrunun Analitiği - İntegral

Facebook calculus gruplarından bir sorunun fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:

y = f(x) = arctan[ 2x / (1 - x^2) ] fonksiyonunun x = 2 apsisli noktasındaki teğetiyle koordinat eksenleri aasındaki kapalı alanın kaç birim kare olduğunu bulunuz ve bu değeri verecek integral işlemini sadece yazınız.

Türev için 1. Çözüm:
y' = { [ 2·(1 - x^2) - 2x·(-2x) ] / (1 - x^2)^2 } / { 1 + [ 2x / (1 - x^2) ]^2 }
y' = f '(x) = 2(1 + x^2) / (1 - 2x^2 + x^4 + 4x^2) = 2 / (1 + x^2)
Yalnız Türevin Alınma Sorusu: https://www.facebook.com/photo/?fbi....3951325611836467&idorvanity=2325180607784317

Türev için 2. Çözüm:
x = tan(θ) ⇒ y = arctan{ 2tan(θ) / [ 1 - [ tan(θ) ]^2 } = arctan[ tan(2θ) ]
y = 2θ = 2arctan(x) ⇒ y' = f '(x) = 2 / (1 + x^2)

Türev için 3. Çözüm:
tan(y) = 2x / (1 - x^2)
y'·[ sec(y) ]^2 = [ 2·(1 - x^2) - 2x·(-2x) ] / (1 - x^2)^2
y' = [ cos(y) ]^2·2(1 + x^2) / (1 - x^2)^2....(I)
tan(y) = 2x / (1 - x^2) ⇒ cos(y) = (1 - x^2) / (1 + x^2)....(II)
(II) eşitliği (I) numaralı türev fonksiyonundaki yerine yazılıp sadeleştirilince,
y' = [ (1 - x^2) / (1 + x^2) ]^2·[ 2(1 + x^2) / (1 - x^2)^2 ]
y' = f '(x) = 2 / (1 + x^2)

Teğetin x = 2 noktasındaki eğimi f '(2) = 2 / 5
f(2) = arctan[ 4 / (-3) ] = -arctan(4 / 3)
( 2, -arctan(4 / 3) ) noktasından geçen ve eğimi -arctan(4 / 3) olan teğetin denklemi;
y + arctan(4 / 3) = (2 / 5)(x - 2)
Teğetin x eksenini kestiği nokta: ( 2 + (5 / 2)·arctan(4 / 3), 0 )
Teğetin y eksenini kestiği nokta: ( 0, -4 / 5 - arctan(4 / 3) )
Teğetin eksenlerle arasında kalan kapalı bölge olan dik üçgenin alanı:
[ 2 + (5 / 2)·arctan(4 / 3) ]·| -(4 / 5) - arctan(4 / 3) | / 2 =
(5 / 4)·[ arctan(4 / 3) ]^2 + 2·arctan(4 / 3) + 4 / 5 Birim^2 = 3,7294... Birim^2.

İntegral Çözümü:

https://i.ibb.co/wN2Jz4fh/Alan-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input?...3) ) dx from x = 0..2 + (5 / 2)*arctan(4 / 3)
Not: WolframAlpha ne yazık ki "alan" değerinin pozitif olması gerektiğini henüz öğrenememiş.

Grafik:

https://i.ibb.co/hF8dnRsT/arctan.png