Çözüldü Trigonometrik İntegral - Türev - Çemberin Analitiği

Facebook'taki sorulardan birinin fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/mit10.jpg
https://www.facebook.com/photo/?fbid=571274659374076&set=g.1460471600699840

Yukarıdaki integralin çözümü için üç ayrı trigonometrik dönüşümü, sınır değerlerindeki değişimi, yeni değişkenle yapılacak çözüm için hangi trigonometrik özdeşliğin kullanılacağını ve sonucu yazınız ama integrali geometrik yoldan çözünüz.

Dönüşüm1:
x = [ sin(θ) ]^2, (alt sınır θ1 = 0, θ2 = π / 2), ∫ (1 / 2)·[ sin(2θ) ]^2 dθ =
(alt sınır θ1 = 0, θ2 = π / 2), (1 / 4)·∫ [ 1 - sin(4θ) ] dθ = π / 8
Kullanılan Özdeşlik: cos(2β) = 1 - 2·[ sin(β) ]^2

Dönüşüm2:
x = [ cos(θ) ]^2, (alt sınır θ1 = π / 2, θ2 = 0), -∫ (1 / 2)·[ sin(2θ) ]^2 dθ =
(alt sınır θ1 = 0, θ2 = π / 2), (1 / 4)·∫ [ 1 - sin(4θ) ] dθ = π / 8
Kullanılan Özdeşlik: Aynı

Dönüşüm3:
x(1 - x) = -x^2 + x + 1 / 4 - 1 / 4 = 1 / 4 - (x - 1 / 2)^2
x - 1 / 2 = (1 / 2)·sin(θ)
x = (1 / 2)·[ 1 + sin(θ) ]
(alt sınır θ1 = -π / 2, üst sınır θ2 = π / 2), (1 / 8)·∫ [ 1 + cos(2θ) ] dθ = π / 8
Kullanılan Özdeşlik: cos(2β) = 2·[ cos(β) ]^2 - 1

Geometrik Çözüm:
y = [ x(1 - x) ]^0,5 ⇒ (x - 1 / 2)^2 + y^2 = 1 / 4 çemberi olup integralin değeri bu çemberin alanının yarısı ve π·(1 / 4) / 2 =
π / 8 birim^2.

WolframAlpha Kontrolu:

https://servimg.com/view/19971039/5069
https://www.wolframalpha.com/input?i=integral sqrt(x(1-x))dx from x=0..1
(π / 8 = 0,39269...)

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/mit_gr12.png

Not: Facebook'ta tonlarca palavracı olduğundan böyle uyduruk bir integralin "MIT Integration Bee" kapsamında sorulmuş olabileceğine inanmak istemiyorum, ayrıca aranıp kontrol edilmesine değmediği için de MIT'nin web sitesini meşgul etmedim.