Çözüldü Trigonometrik Limitte Değişken Dönüşümü ve Denklik

Bir kitaptan fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:

lim (x → π) [ sin(x / 2) + cos(x) ] / { [ sin(x) ]^2 + cos(x) + 1 } limitini L'Hospital kuralı veya Denklik kavramını uygulamadan bulunuz.

x = π + y dönüşümüyle x → π ⇒ y → 0 olup limitin yeni hali;
lim (y → 0) [ cos(y / 2) - cos(y) ] / { [ -sin(y) ]^2 - cos(y) + 1 } =
lim (y → 0) { -2·sin[ (y / 2 + y) / 2 ]·sin[ (y / 2 - y) / 2 ] } / { [ sin(y) ]^2 - 1 + 2·[ sin(y / 2) ]^2 + 1 } =
lim (y → 0) 2·sin(3y / 4)·sin(y / 4) / { 4·[ sin(y / 2) ]^2·[ cos(y / 2) ]^2 + 2·[ sin(y / 2) ]^2 } =
lim (y → 0) sin(3y / 4)·sin(y / 4) / ( [ sin(y / 2) ]^2·{ 2·[ cos(y / 2) ]^2 + 1 } ) =
lim (y → 0) sin(3y / 4)·sin(y / 4) / ( 4·[ sin(y / 4) ]^2·[ cos(y / 4) ]^2·{ 2·[ cos(y / 2) ]^2 + 1 } ) =
(1 / 4)·lim (y → 0) sin(3y / 4) / ( [ sin(y / 4) ]·[ cos(y / 4) ]^2·{ 2·[ cos(y / 2) ]^2 + 1 } ) =
(1 / 4)·lim (y → 0) sin(3y / 4)·(4 / (3y))·(3y / 4) / ( [ sin(y / 4) ]·(4 / y)·(y / 4)·[ cos(y / 4) ]^2·{ 2·[ cos(y / 2) ]^2 + 1 } ) =
(1 / 4)·1·(3y / 4) / [ 1·(y / 4)·1^2·(2·1^2 + 1) ] =
(1 / 4)·3 / (2 + 1) =
1 / 4.

Not: Kitaptaki çözümde x = π + X dönüşümüyle X → 0 için sin(3X / 4)·sin(X / 4) ≈ (3X / 4)·(X / 4) ve [ sin(X / 2) ]^2 ≈ X^2 / 4 denklikleri kullanılarak çözüm yapılmıştır.

Kaynak: "Çözümlü Trigonometri Problemleri", Th. Caronnet, Çeviren: Dr. Fahrettin Akbulut, Ege Üniversitesi Fen Fakültesi, 2. Baskı, 1969, Sayfa 30, Soru 133, Çözüm: Sayfa 129)
https://kutuphane.gelisim.edu.tr/cg...000&query_desc=se,phr:"Kitabevi (yayınları)."