Çözüldü Trigonometrik Limitte Serilerin ve "L'Hospital Kuralı"nın Uygulanması

İTÜ'den sayın Prof.Dr. Fuat Ergezen Hocamızın ders notlarındaki çözümlü sorulardan birinin lise klasik sınav uyarlaması:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/ergeze10.png

Yukarıdaki limiti "L'Hospital Kuralı"nı uygulayarak iki farklı şekilde çözünüz.

Çözüm - 1:
lim (x → 0) [ 1 - 1 / (1 + x^2) ] / (3x^2) = lim (x → 0) 1 / (3 + 3x^2) = 1 / (3 + 0) = 1 / 3.

Çözüm - 2:
y = arctan(x) ⇒ x = tan(y), x → 0 ⇒ y → 0
lim (y → 0) [ tan(y) - y ] / [ tan(y) ]^3 = lim (y → 0) { 1 + [ tan(y) ]^2 - 1 } / { 3·[ tan(y) ]^2·[ sec(y) ]^2 } =
lim (y → 0) { [ cos(y) ]^2 } / 3 = (1^2) / 3 = 1 / 3.

Kaynak: https://web.itu.edu.tr/ergezen/mat2/10 Sonsuz Diziler Seriler.pdf
(Son sayfa, Soru 5)