Çözüldü Üçgenlerde Benzerlik - Trigonometri - İkinci Derece Denklem

Harvard - MIT Matematik Turnuvası 2025 çözümlü sorularından birinin AYT için şekil çizimi öğrencinin okuduğunu anlama gücüne bırakılmış uyarlaması:

A, B, C, D noktaları soldan sağa yazılan sırada doğrusal, o doğru üzerinde olmayan bir nokta E, ∡AED = 120°, ΔBCE eşkenar, |BC| = 10 birim ve |AD| = 39 birim ise |AB| - |CD| farkının mutlak değeri kaçtır?

A) 15
B) 17
C) 19
D) 21
E) 23

|AB| = x birim
|CD| = 39 - 10 - x = 29 - x birim
∡AEB = θ
∡CED = 120° - 60° - θ = 60° - θ
∡CDE = 60° - (60° - θ) = θ
∡BAE = 60° - θ
ΔABE için Sinüs Teoremi gereğince 10 / sin(60° - θ) = x / sin(θ)....(I)
ΔCDE için Sinüs Teoremi gereğince (29 - x) / sin(60° - θ) = 10 / sin(θ)....(II)
(I) ve (II) taraf tarafa bölünerek sadeleştirilince x^2 - 29x + 100 = 0 ⇒ (x - 25)(x - 4) = 0
x1 = |AB| = 25 ⇒ |CD| = 29 - 25 = 4 ⇒ |25 - 4| = 21
x2 = |AB| = 4 ⇒ |CD| = 29 - 4 = 25 ⇒ |4 - 25| = 21.

Sorunun Aslı ve Üçgenlerde Benzerlikle Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/hmmt12.png
https://hmmt-archive.s3.amazonaws.com/tournaments/2025/nov/gen/solutions.pdf
(Sayfa 3, Soru 5)