Çözüldü Üçüncü Derece Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemin Başlangıç Değerleriyle Çözümü

y''' + 4y'' + 9y' + 10y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 4, y''(0) = -18

Geçici olarak x yerine t değişkenine bağlılık varsayımıyla (domain: t) Laplace Dönüşümü uygulanarak;
ℒ{ y'''(t) } + 4·ℒ{ y''(t) } + 9·ℒ{ y'(t) } + 10·ℒ{ y(t) } = ℒ{0}
[ (s^3)·Y(s) - (s^2)·y(0) - s·y'(0) - y''(0) ] + 4·[ (s^2)·Y(s) - s·y(0) - y'(0) ] + 9·[ s·Y(s) - y(0) ] + 10·Y(s) = 0 / s
(s^3)·Y(s) - (s^2)·0 - s·4 + 18 + 4·[ (s^2)·Y(s) - s·0 - 4 ] + 9·[ s·Y(s) - 0 ] + 10·Y(s) = 0
(s^3)·Y(s) - 4s + 18 + 4·(s^2)·Y(s) - 16 + 9·s·Y(s) + 10·Y(s) = 0
(s^3 + 4s^2 + 9s + 10)·Y(s) = 4s - 2
Y(s) = (4s - 2) / (s^3 + 4s^2 + 9s + 10) eşitliğinde sağ taraf basit kısmi kesirlere ayrılarak (ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
Y(s) = 2(s + 2) / (s^2 + 2s + 5) - 2 / (s + 2)
Y(s) = 2(s + 2) / [ (s + 1)^2 + 2^2 ] - 2 / (s + 2)
Y(s) = 2(s + 1) / [ (s + 1)^2 + 2^2 ] + 2 / [ (s + 1)^2 + 2^2 ] - 2 / (s + 2) eşitliğinde ters Laplace Dönüşümüyle;
ℒ^(-1) { Y(s) } = 2·ℒ^(-1){ (s + 1) / [ (s + 1)^2 + 2^2 ] } + ℒ^(-1){ 2 / [ (s + 1)^2 + 2^2 ] } - 2·ℒ^(-1){ 1 / (s + 2) }
+ 1 = - (-1) olduğu dikkate alınarak;
y(t) = 2·[ e^(-t) ]·cos(2t) + [ e^(-t) ]·sin(2t) - 2·[ e^(-2t) ] fonksiyonunda x değişkenine geri dönülüp ve üstel fonksiyon çarpanında yazılırsa;

y(x) = [ e^(-2x) ]·{ 2·(e^x)·cos(2x) + (e^x)·sin(2x) - 2 ] }

WolframAlpha Kontrolu:
(Üstel fonksiyon dışarıda kalacak şekilde yazmamış ama aynı sonuç)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/thirdd10.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''' + 4y'' + 9y' + 10y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 4, y''(0) = -18