Çözüldü Üçüncü Derece Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemin Sabitin Değişimiyle Çözümü

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Honore tarafından 19 Ocak 2021 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    11.053
    Beğenileri:
    652
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Z''' - 3Z'' + 2Z' = e^(2x) / (e^x + 1)

    d / dx = r olmak üzere karakteristik denklem (auxiliary polynomial);
    r^3 - 3r^2 + 2r = 0 ⇒ r(r - 1)(r - 2) = 0 ⇒ r1 = 0, r2 = 1, r3 = 2
    Homojen (sağ tarafsız) Çözüm: Zh(x) = C1·[ e^(0·x) ] + C2·[ e^(1·x) ] + C3·[ e^(2·x) ]

    Zh(x) = C1 + C2·(e^x) + C3·[ e^(2x) ]....(I) fonksiyonundan birinci, ikinci, üçüncü türevler alınarak bütünler şart denklemleri yazılırsa;
    Z' = 0 + C2·(e^x) + 2C3·[ e^(2x) ] + C1' + C2'·(e^x) + C3'·[ e^(2x) ]
    C1' + C2'·(e^x) + C3'·[ e^(2x) ] = 0....(II)
    (II) nedeniyle Z' = C2·(e^x) + 2C3·[ e^(2x) ]....(III)
    (III) eşitliğinden Z'' = C2·(e^x) + 4C3·[ e^(2x) ] + C2'·(e^x) + 2C3'·[ e^(2x) ]
    C2'·(e^x) + 2C3'·[ e^(2x) ] = 0 ⇒ C2' + 2C3'·(e^x) = 0....(IV)
    (IV) nedeniyle Z'' = C2·(e^x) + 4C3·[ e^(2x) ]....(V)
    (V) eşitliğinden; Z''' = C2·(e^x) + 8C3·[ e^(2x) ] + C2'·(e^x) + 4C3'·[ e^(2x) ]....(VI)
    (VI), (V), (III) eşitlikleri denklemdeki yerlerine konulup;
    C2·(e^x) + 8C3·[ e^(2x) ] + C2'·(e^x) + 4C3'·[ e^(2x) ] - 3C2·(e^x) - 12C3·[ e^(2x) ] + 2C2·(e^x) + 4C3·[ e^(2x) ] =
    [ e^(2x) ] / (e^x + 1) eşitliği sadeleştirilirse;
    C2' + 4C3'·(e^x) = (e^x) / (e^x + 1)....(VII)
    (II), (IV), (VII) eşitliklerinden oluşan ve değişkenleri C1', C2', C3' olan 3 bilinmeyenli denklem sistemi;
    C1' + C2'·(e^x) + C3'·[ e^(2x) ] = 0....(II)
    C2' + 2C3'·(e^x) = 0....(IV)
    C2' + 4C3'·(e^x) = (e^x) / (e^x + 1)....(VII)
    (VII) - (IV) yazılıp C3' = 1 / [ 2(e^x + 1) ]....(VIII) eşitliğinden integral alınıp (ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev)
    C3 = x / 2 - (1 / 2)·ln(e^x + 1) + K3....(IX)
    (VIII) eşitliği (IV) denkleminde kullanılarak;
    C2' + 2·{ 1 / [ 2(e^x + 1) ] }·(e^x) = 0
    C2' = -(e^x) / (e^x + 1)....(X) eşitliğinden integralle C2 = -ln(e^x + 1) + K2....(XI)
    (X) ve (VIII) eşitlikleri de (II) denklemine götürülürse;
    C1' + [ -(e^x) / (e^x + 1) ]·(e^x) + { 1 / [ 2(e^x + 1) ] }·[ e^(2x) ] = 0 eşitliği sadeleştirilip,
    C1' = [ e^(2x) ] / [ 2(e^x + 1) ] eşitliğinden integral alınarak (ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
    C1 = (e^x) / 2 - (1 / 2)·ln(e^x + 1) + K1....(XII)
    (XII), (XI), (IX) numaralı ve x değişkenine bağlı katsayılar (I) denklemindeki yerlerine konulup tam genel çözüm;
    Z(x) = [ (e^x) / 2 - (1 / 2)·ln(e^x + 1) + K1 ] + [ -ln(e^x + 1) + K2 ]·(e^x) + [ x / 2 - (1 / 2)·ln(e^x + 1) + K3 ]·[ e^(2x) ]
    ve son olarak kozmetik amaçlı küçük bir düzenlemeyle;

    Z(x) = (1 / 2)·[ e^x - ln(e^x + 1) ] + A + (e^x)·[ B - ln(e^x + 1) ] + (1 / 2)·[ e^(2x) ]·[ x - ln(e^x + 1) + C]

    WolframAlpha (WA) Kontrolu:
    (Yukarıdaki sonucun ve WA'nın aşağıda verdiğinin aynı olduğunu görmek de ilgilenen öğrencilere ödev.)
    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/zdifde10.png
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=Z'''-3Z''+2Z'=(e^x)/(1+e^(-x))

  2. Benzer Konular: Üçüncü Derece
    Forum Başlık Tarih
    Ivır Zıvır Sorular - Sohbet (Trivial Questions - Chat) İntegral - Üçüncü Derece Denklem (Senin Gibi Hocaya da Yazıklar olsun!) 22 Mart 2024
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Üçüncü Derece Denklem - Türev - Dönüm Noktası - Doğrunun Analitiği - İntegral 23 Temmuz 2023
    Hatalı - Tekrarlanmış Sorular veya Çözümler (Faulty - Repeated Questions or Solutions) Üçüncü Derece Polinom ve Üç Bilinmeyenli Denklem - Türev (Soru ve seçenekler hatalı) 18 Mayıs 2021
    Denklem Çözme, Eşitsizlikler, Oran-Orantı, Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma İkinci ve Üçüncü Derece Eşitsizlik 12 Mart 2021
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Üçüncü Derece Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemin Başlangıç Değerleriyle Çözümü 19 Ocak 2021

  3. Selma ersan

    Selma ersan Yeni Üye

    Mesajlar:
    4
    Beğenileri:
    0
    Cinsiyet:
    Bayan
    Hocam bi soruda yanlışlık mı var? Wolfram alphada z''' - 3Z'' + 2Z' = e^(x) / (e^-x + 1) ama soru z''' - 3Z'' + 2Z' = e^(2x) / (e^x + 1) şeklinde
  4. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    11.053
    Beğenileri:
    652
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    İki sağ taraf aynı.

Sayfayı Paylaş