Çözüldü Üçüncü Derece Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemin Sabitin Değişimiyle Çözümü

Z''' - 3Z'' + 2Z' = e^(2x) / (e^x + 1)

d / dx = r olmak üzere karakteristik denklem (auxiliary polynomial);
r^3 - 3r^2 + 2r = 0 ⇒ r(r - 1)(r - 2) = 0 ⇒ r1 = 0, r2 = 1, r3 = 2
Homojen (sağ tarafsız) Çözüm: Zh(x) = C1·[ e^(0·x) ] + C2·[ e^(1·x) ] + C3·[ e^(2·x) ]

Zh(x) = C1 + C2·(e^x) + C3·[ e^(2x) ]....(I) fonksiyonundan birinci, ikinci, üçüncü türevler alınarak bütünler şart denklemleri yazılırsa;
Z' = 0 + C2·(e^x) + 2C3·[ e^(2x) ] + C1' + C2'·(e^x) + C3'·[ e^(2x) ]
C1' + C2'·(e^x) + C3'·[ e^(2x) ] = 0....(II)
(II) nedeniyle Z' = C2·(e^x) + 2C3·[ e^(2x) ]....(III)
(III) eşitliğinden Z'' = C2·(e^x) + 4C3·[ e^(2x) ] + C2'·(e^x) + 2C3'·[ e^(2x) ]
C2'·(e^x) + 2C3'·[ e^(2x) ] = 0 ⇒ C2' + 2C3'·(e^x) = 0....(IV)
(IV) nedeniyle Z'' = C2·(e^x) + 4C3·[ e^(2x) ]....(V)
(V) eşitliğinden; Z''' = C2·(e^x) + 8C3·[ e^(2x) ] + C2'·(e^x) + 4C3'·[ e^(2x) ]....(VI)
(VI), (V), (III) eşitlikleri denklemdeki yerlerine konulup;
C2·(e^x) + 8C3·[ e^(2x) ] + C2'·(e^x) + 4C3'·[ e^(2x) ] - 3C2·(e^x) - 12C3·[ e^(2x) ] + 2C2·(e^x) + 4C3·[ e^(2x) ] =
[ e^(2x) ] / (e^x + 1) eşitliği sadeleştirilirse;
C2' + 4C3'·(e^x) = (e^x) / (e^x + 1)....(VII)
(II), (IV), (VII) eşitliklerinden oluşan ve değişkenleri C1', C2', C3' olan 3 bilinmeyenli denklem sistemi;
C1' + C2'·(e^x) + C3'·[ e^(2x) ] = 0....(II)
C2' + 2C3'·(e^x) = 0....(IV)
C2' + 4C3'·(e^x) = (e^x) / (e^x + 1)....(VII)
(VII) - (IV) yazılıp C3' = 1 / [ 2(e^x + 1) ]....(VIII) eşitliğinden integral alınıp (ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev)
C3 = x / 2 - (1 / 2)·ln(e^x + 1) + K3....(IX)
(VIII) eşitliği (IV) denkleminde kullanılarak;
C2' + 2·{ 1 / [ 2(e^x + 1) ] }·(e^x) = 0
C2' = -(e^x) / (e^x + 1)....(X) eşitliğinden integralle C2 = -ln(e^x + 1) + K2....(XI)
(X) ve (VIII) eşitlikleri de (II) denklemine götürülürse;
C1' + [ -(e^x) / (e^x + 1) ]·(e^x) + { 1 / [ 2(e^x + 1) ] }·[ e^(2x) ] = 0 eşitliği sadeleştirilip,
C1' = [ e^(2x) ] / [ 2(e^x + 1) ] eşitliğinden integral alınarak (ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
C1 = (e^x) / 2 - (1 / 2)·ln(e^x + 1) + K1....(XII)
(XII), (XI), (IX) numaralı ve x değişkenine bağlı katsayılar (I) denklemindeki yerlerine konulup tam genel çözüm;
Z(x) = [ (e^x) / 2 - (1 / 2)·ln(e^x + 1) + K1 ] + [ -ln(e^x + 1) + K2 ]·(e^x) + [ x / 2 - (1 / 2)·ln(e^x + 1) + K3 ]·[ e^(2x) ]
ve son olarak kozmetik amaçlı küçük bir düzenlemeyle;

Z(x) = (1 / 2)·[ e^x - ln(e^x + 1) ] + A + (e^x)·[ B - ln(e^x + 1) ] + (1 / 2)·[ e^(2x) ]·[ x - ln(e^x + 1) + C]

WolframAlpha (WA) Kontrolu:
(Yukarıdaki sonucun ve WA'nın aşağıda verdiğinin aynı olduğunu görmek de ilgilenen öğrencilere ödev.)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/zdifde10.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Z'''-3Z''+2Z'=(e^x)/(1+e^(-x))

İki sağ taraf aynı.