Çözüldü Yamukta Alan - Trigonometri

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/yamuk10.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=186567462280057&set=gm.2230074657227732&type=3&theater
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için sorunun aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

Daha kısa çözüm de olabilir, yapmak isteyen hayırseverlere şimdiden çok teşekkürler.

∡DCA = 75°
∡ACB = θ
∡DAC = 180° - θ
∡ADC = θ - 75°
∡ABC = 105° - θ
ΔACD için Sinüs Teoremi ile 10 / sin(180° - θ) = |AC| / sin(θ - 75°)....(I)
ΔABC için Sinüs Teoremi ile 6 / sinθ = |AC| / sin(105° - θ)....(II)
(I) ve (II) eşitlikleri taraf tarafa bölünüp sadeleştirilerek düzenlenirse 5sin(θ - 75°) = 3sin(θ + 75°) olup açılarak işlemler yapılırsa;
θ = arctan[ 4tan(75°) ]....(III)
sin(75°) = sin(45° + 30°) = (√6 + √2) / 4....(IV)
cos(75°) = cos(45° + 30°) = (√6 - √2) / 4....(V)
tan(75°) = sin(75°) / cos(75°) = (√6 + √2) / (√6 - √2) = 2 + √3....(VI)
(VI) değeri (III) eşitliğine götürülerek θ = arctan(8 + 4√3)....(VII)
(VII) eşitliğine uygun bir dik üçgen çizilerek Pisagor Teoremi ile;
sinθ = (8 + 4√3) / √(113 + 64√3)....(VIII)
cosθ = 1 / √(113 + 64√3)....(IX)
(II) eşitliğinden |AC| = (6 / sinθ)·sin(θ + 75°)....(X)
sin(θ + 75°) = (sinθ)·cos(75°) + (cosθ)·sin(75°)....(XI)
(IV), (V), (VIII), (IX) değerleri (XI) eşitliğindeki yerlerine konulursa;
sin(θ + 75°) = [ (8 + 4√3) / √(113 + 64√3) ]·[ (√6 - √2) / 4 ] + [ 1 / √(113 + 64√3) ]·[ (√6 + √2) / 4 ]
sin(θ + 75°) = 5(√6 + √2) / [ 4√(113 + 64√3) ]....(XII)
(ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev)
WolframAlpha Kontrolu:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=[ (8 + 4√3) / √(113 + 64√3) ]·[ (√6 - √2) / 4 ] + [ 1 / √(113 + 64√3) ]·[ (√6 + √2) / 4 ]=
("Alternate forms" bölümündeki ilk sonuç)

(VIII) ve (XII) değerleri (X) ifadesindeki yerine yazılarak;
|AC| = { 6 / [ (8 + 4√3) / √(113 + 64√3) ] }·{ 5(√6 + √2) / [ 4√(113 + 64√3) ] } =
|AC| = 15(√6 + √2) / [ 8(2 + √3) ]....(XIII)
(ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev)
WolframAlpha Kontrolu:
http://www.wolframalpha.com/input/?i={ 6 / [ (8 + 4√3) / √(113 + 64√3) ] }·{ 5(√6 + √2) / [ 4√(113 + 64√3) ] }=

C noktasından [AB] kenarına inilen dikmenin ayağı H olmak üzere yamuğun yüksekliği |AH| = h
ACH dik üçgeninde sin(75°) = h / |AC| ⇒ h = |AC|·sin(75°)....(XIV)
(XIII) ve (IV) değerleri (XIV) eşitliğinin sağ tarafındaki yerlerine konarak;
h = { 15(√6 + √2) / [ 8(2 + √3) ] }·[ (√6 + √2) / 4 ] = 15 / 8
(ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev)
WolframAlpha Kontrolu:
http://www.wolframalpha.com/input/?i={ 15(√6 + √2) / [ 8(2 + √3) ] }·[ (√6 + √2) / 4 ] =

Alan(ABCD) = [ (10 + 6) / 2 ]·(15 / 8) = 15 birim^2