Çözüldü Dik Yamuk-Pisagor Teoremi-Trigonometri-2. Derece Denklem-Analitik Geometri

https://i.ibb.co/jRtm1wY/dik-yamuk.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2684751951576318&set=gm.1689507877853415&type=3&theater (Başka bir kısa sentetik çözüm.)
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

Daha pratik bir çözüm yapılana kadar;

Çözüm - 1
|CD| = y
C'den [AB]'ye inilen dikmenin ayağı H ise |BH| = 10 - y
ADC dik üçgeni için Pisagor Teoremi ile |AC| = √(12^2 + y^2) = √(144 + y^2)....(I)
AEB dik üçgeni için Pisagor Teoremi ile |AE| = √(10^2 - 6^2) = 8 birim
AEC dik üçgeni için Pisagor Teoremi ile |AC| = √(8^2 + x^2) = √(64 + x^2)....(II)
(I) ve (II) ifadelerinin sol tarafları eşit olduğundan 64 + x^2 = 144 + y^2 ⇒ y^2 = x^2 - 80....(III)
BHC dik üçgeninde |AD| = |CH| = 12 birim ve Pisagor Teoremi ile 12^2 + (10 - y)^2 = (x + 6)^2 olup düzenlenirse;
144 + 100 - 20y + y^2 = x^2 + 12x + 36 eşitliğinde (III) kullanılarak;
244 - 20y + x^2 - 80 = x^2 + 12x + 36 olup sadeleştirilip y = (32 - 3x) / 5....(IV)
∡DAC = arctan(y / 12)....(V)
∡CAE = arctan(x / 8)....(VI)
∡EAB = arctan(6 / 8) = arctan(3 / 4)....(VII)
(VI), (VI), (VII) açılarının toplamı 90° olduğundan;
arctan(y / 12) + arctan(x / 8) + arctan(3 / 4) = 90°
arctan(y / 12) + arctan(x / 8) = 90° - arctan(3 / 4) eşitliğinde sol taraftaki birinci terimde (V) eşitliği kullanılıp;
arctan[ (32 - 3x) / 60 ] + arctan(x / 8) = 90° - arctan(3 / 4) ifadesinde iki tarafın tanjantı alınarak;
{ [ (32 - 3x) / 60 ] + (x / 8) } / { 1 - [ (32 - 3x) / 60 ](x / 8) } = cot[ arctan(3 / 4) ] sadeleştirmelerle;
(256 + 36x) / [ 3(x^2) - 32x + 480 ] = 4 / 3 orantısından;
3x^2 - 59x + 288 = 0
x = (59 ∓ 5) / 6
x1 = 64 / 6 = 32 / 3 olamaz çünkü (IV) eşitliğinden y = [ 32 - 3(32 / 3) ] / 5 = 0 olur ki bu durumda dik yamuk oluşmaz.
x2 = 54 / 6 = 9
---
Çözüm - 2
A noktası Orijin ve [AB[ x ekseni, [AD] de y ekseni üzerinde olacak şekilde dik yamuk Kartezyen Düzleme yerleştirilirse;
Birinci çözümdeki (VII) açısına göre [AE]'nin üzerinde olduğu doğrunun denklemi y = 3x / 4....(VIII)
[BE] ⊥ [AE] olduğuna dikkat edilerek [BE['nin üzerinde olduğu doğrunun denklemi y - 0 = -(4 / 3)(x - 10)....(IX)
(VIII) ve (IX) doğruları kesiştirilerek E noktasının apsisi;
3x / 4 = (-4 / 3)(x - 10) ⇒ x = 32 / 5 ve bu değer (VIII) denkleminde kullanılıp E noktasının ordinatı;
y = (3 / 4)(32 / 5) = 24 / 5 olup E(32 / 5, 24 / 5) bulunur.
E noktasından x eksenine çizilen paralelin [CH]'ı kestiği nokta K ise |CK| = 12 - 24 / 5 = 36 / 5....(X)
AEB dik üçgeninde (VII) eşitliğine göre ∡EAB = 90° - arctan(3 / 4) ve BHC dik üçgeninde de ∡ECK = ∡BCH = 90° - [ 90° - arctan(3 / 4) ] = arctan(3 / 4) = ∡EAB....(XI)
(Bu eşitlik doğrudan AEB ve BHC dik üçgenlerinin benzerliği nedeniyle de görülebilir.)
∆BHC ~ ∆CKE olduğundan CKE dik üçgeninde cos(∡ECK) = |CK| / x olup (X) ve (XI) değerleriyle cos[ arctan(3 / 4) ] = (36 / 5) / x yazılıp eşitliğin sol tarafındaki ifadeye uygun dik üçgende (meşhur 3-4-5 dik üçgeni olduğu zaten hemen anlaşılıyor) Pisagor Teoremi ile hipotenüs 5 birim olduğundan;
4 / 5 = 36 / 5x
1 = 9 / x
x = 9.
---
Sayın Almazbek İsaev Hocamıza aşağıdaki pratik çözümü ve foruma yaptığı tüm katkılar için çok çok teşekkür ederim, eksik olmasın. Selamlar, hürmetler.